Kann man das so folgern?

Question

Aufgabe: Seien K und L, Körper und sei K ein Unterring von L. seien p und q Polynome mit Koeffizienten in K. Beweisen Sie das folgende Aussage äquivalent sind

(a) p und q sind in K[T] teilerfremd

(b) p und q sind in L[T] teilerfremd

Problem/Ansatz: Mein Ansatz wäre folgender, die Unterringkriterien sind:

0) 0L und 1L liegen in K.

1) |K| ist unter Multiplikation abgeschlossen.
2) |K| ist unter Addition abgeschlossen.
3) |K| ist unter Inversenbildung abgeschlossen.

p und q liegen in K, da p und q teilerfremd sind, ist der ggT = 1, 1 liegt laut Definiton in K, somit sind die Aussagen äquivalent.

Kann man das so folgern ?

Answer 1

Ich denke, dass das keine schlüssige Folgerung ist. Woher weißt du denn,

dass der ggT sich nicht ändert, wenn man den Koeffizientenkörper erweitert?

Das musst du schon begründen.

Ich würde das so machen:

\(p,q\)  teilerfremd in \(K[T]\; \Rightarrow\;\) Es gibt \(r,s\in K[T]\) mit

\(pr+qs=1\). Da \(K[T]\subset L[T]\) gilt auch \(r,s\in L[T]\), also sind

\(p,q\) teilerfremd in \(L[T]\).

Für die Umkehrung kannst du ja zeigen, dass wenn

\(r \in K[T]\) ein gemeinsamer Teiler in \(K[T]\) von \(p\) und \(q\)

mit Grad\((r)>0\) ist, dieser auch in \(L[T]\) ein gemeinsamer

Teiler ist.

Comments

Danke, das ist schlüssig