Wie lang ist die Strecke AB?

Question

1. Zwei sich berührende Kreise K_a und K_b der Radien a und b haben außer der Tangente t_g im Berührpunkt noch zwei weitere gemeinsame Tangenten t₁ und t₂. t₁ berührt K_a in A und K_b in B. Wie lang ist die Strecke AB?

Answer 1

Nur eine kleine ungeprüfte Idee:

|AB| = 2·√(a·b)

Vielleicht kann das ja jemand bestätigen oder widerlegen.

Comments

Die Lösung kann ich bestätigen. Welchen Lösungsweg schlägst du vor? Durchführung nicht erforderlich.

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Wie immer eine gute Skizze. Man findet ein rechtwinkliges Dreieck mit den drei Seitenlängen

|AB|, b-a, a+b

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Danke für die Antwort plus Ergänzung.

Answer 2

Man findet ein rechtwinkliges Dreieck mit den drei Seitenlängen
|AB|, b-a, a+b

... was IMHO offensichlich ist. Alternativ lässt sich ein zweites rechtwinkliges Dreieck \(\triangle M_aM_bP\) finden

In diesem Dreieck gilt nach dem Höhensatz: $$\frac12|AB| = |PQ| = \sqrt{|M_aQ|\cdot |M_bQ|}=\sqrt{a\cdot b}$$

Comments

Werner, vielen Dank für diesen Lösungsweg.

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Auch von mir ein Dank für diesen alternativen Weg.

Ich habe ihn mal in eine eigenständige Antwort umgewandelt.

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Werner hast du du eigentlich Mathe Studiert?

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Werner hast du du eigentlich Mathe Studiert?

Nein! ;-) ich habe Maschinenbau studiert. Mathe hat mir aber schon immer schlicht Spaß gemacht.

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Lernt man das dann alles im Maschinenbau Studium?

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Lernt man das dann alles im Maschinenbau Studium?

Nein. Von den Dingen, die hier so gefragt werden, lernt man dort nur das Lösen von einigen DIfferenzialgleichungen und vielleicht noch komplexe Zahlen. Letzteres hatte ich an der Schule nicht. Dann fällt mir noch Linearisieren von Funktionen (Stichwort Taylorentwicklung) ein, sowie die Hauptachsentransformation (kommt hier eher selten vor)

Ich habe vieles 'on the job' und auch hier in der Mathelounge gelernt. Man muss sich einfach mal mit den Dingen beschäftigen, dann kann man auch irgendwann damit umgehen. Wikipedia sei Dank ... da steht doch alles ;-)

Ach ja - und wenn Du diese Aufgabe hier meinst: ich würde mal frech behaupten, ich habe Talent für sowas. Und weil mir Geometrie Spaß macht, auch etliches an Übung. Der Stoff selbst ist aber "nur" Mittelstufe Gymnasium.

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Wo du zu deiner Zeit dein Fachabi oder Abi gemacht hast, fandest du diese Aufgaben leicht und konntest das meiste ohne zu lernen oder musst du da auch lernen?

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Mathe im Allgemeinen fand ich leicht und Geometrie fand ich viel zu leicht. Lernen musste ich in der Schule ganz viel bei den Sprachen. Das kann ich bis heute nicht richtig