In der Gleichung a+1/b+c = b/a sind a und b positive ganze Zahlen und c eine positive reelle Zahl.

Question

Aufgabe:

In der Gleichung (a+1)/(b+c) = b/a sind a und b positive ganze Zahlen und c eine positive reelle Zahl.

Problem/Ansatz:

Zeige: Es gilt c≥1

Comments

Ergänze in Term "a+1/b+c" eventuell fehlende Klammern.

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Wird gemacht :)

Answer 1

Ich verwende die nach \(c\) aufgelöste Gleichung (siehe abakus)

\(c=(a^2+a-b^2)/b\).

Man betrachte nun die 3 möglichen Fälle

\(a=b,\quad a\leq b-1,\quad a\geq b+1\), die sich daraus ergeben,

dass \(a\) und \(b\) positive ganze Zahlen sein sollen.

Im Falle \(a=b\) bekommt man \(c=1\),

im Falle \(a\leq b-1\) ergibt sich \(c\leq -3\lt 0\), d.h. dieser Fall kommt nicht in Frage.

Im Falle \(a\geq b+1\) erhält man \(c\geq (3b+2)/b\geq 3\).

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Comments

Alles klar vielen vielen Dank!

Answer 2

Die Gleichung (a+1)/(b+c) = b/a kann man nach c umstellen:

Das Reziproke beider Seiten ergibt

(b+c)/(a+1) = a/b

b+c=a(a+1)/b

c=a(a+1)/b-b=(a^2+a-b^2)/b.

Du musst nun beweisen, dass für alle Paare positiver ganzer Zahlen (a,b) die Beziehung

(a^2+a-b^2)≥b gilt.

Das sollte schwer fallen, denn diese Unleichung ist äquivalent zu a^2+a≥b^2+b, und es lassen sich Paare positiver ganzer Zahlen (a,b) finden, bei denen das nicht gilt

Comments

es lassen sich Paare positiver ganzer Zahlen (a,b) finden, bei denen das nicht gilt

aber nicht unter der Bedingung c > 0