Zeige für das Bewegungsgesetz Tx = ax+b , dass T^n (x) = x+nb gilt

Question

Aufgabe:

Zeige für das Bewegungsgesetz Tx = ax+b , dass folgendes gilt:

Tⁿx = x+nb   falls a = 1

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie ich dies beweisen soll

Comments

Hallo,

ist Dir die Bedeutung von \(T^n\) klar?

Es ist \(T^1x=Tx\), \(T^2x=T(T^1x)\), \(T^3x=T(T^2x)\), \(T^4x=T(T^3x)\)...

Wenn Du hier das gegebene T einsetzt und alles in dieser Reihenfolge auswertest, wird Dir das Ergebnis plausibel und Du kannst einen Induktionsbeweis versuchen.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Versuchs mal mit Induktion. Für \( n = 1 \) stimmt es ersichtlich.

Und jetzt schließe aus $$ T^{n-1} x = x + (n-1) b $$ das $$ T^n x = x +nb $$ gilt.

Übrigens gilt ganz allgemein

$$ T^nx = a^n x +b \sum_{i=0}^{n-1}a^i $$ und für \( a \ne 1 \) $$ T^nx = a^nx +b \frac{a^n-1}{a-1} $$

Comments

Okay, also

Tⁿx = T(T^n-1x) oder nicht?

und Tⁿx = x + nb

Dann ist IA. n = 1 -> T x = x + b

IV. ∃ n ∈ ℕ : Tⁿx = x + nb

Und dann muss ich n -> n -1 ?
T ^n-1x = x + (n - 1) b

Und das wars? Daraus kann ich jetzt einfach schließen, dass Tⁿx = x + nb ?

Sorry für die doofe Frage

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Nein , Du musst bei der Induktion den Schritt von \( n-1 \rightarrow n \) beweisen. D.h. es gilt $$ T^{n-1} x = x + (n-1)b $$

jetzt ist $$  T^n x = T T^{n-1} x = T (x+(n-1)b) = x+(n-1)n +b = x+nb $$

Bei der allgemeinen Lösung brauchst Du irgendwann mal die geometrische Reihe.