Polstellen und Residuen finden

Question

Man soll die Polstellen und den Grad der Polstellen als auch die Residuen herausfinden.

f(z) = z/sin(z)

Ansatz:

Bei 0 ist eine hebbare Singularität. Die Polstellen bei π + k*π für alle k aus Z außer -1, da man da wieder bei 0 ist.

Die polstellen sind alle jeweils erste Grad, oder?

Aber wie findet man die Residuen?

Answer 1

Hallo,

ja, bei 0 liegt eine hebbare Singularität, bei allen anderen \(k \pi\) ein Pol erster Ordnung.

Wie das Residuum zu berechnen ist, sollte in der Vorlesung besprochen worden sein. Wahrscheinlich habt Ihr folgende Formel für einen Pol erster Ordnung besprochen:

$$\text{Res}(f,w)= \lim_{z \to w}(z-w)f(z)$$

Hier also

$$\text{Res}(f,k \pi)= \lim_{z \to k \pi}(z-k \pi)\frac{z}{\sin(z)}=k \pi \lim_{z \to k \pi}\frac{z-k \pi}{\sin(z)}= \frac{k \pi}{\cos(k \pi)}$$

Letzteres mit Hilfe von l'Hospital.

Gruß Mathhilf

Comments

Wie haben sie das k*π herausgehoben?

Hat sich geklärt, danke