Berechnen Sie die Konstanten a, b, c, d passtend zur Wertetabelle. f(t)=(at^2 + bt + c)/(t^2 + d)

Question

Durch das Einwirken giftiger Substanzen kommt es in einem Teich zu einem starken Absinken des Sauerstoffgehaltes, der unter normalen Bedingungen 12 mg/l beträgt. Das Absinken und Ansteigen des Sauerstoffgehaltes kann näherungsweise beschrieben werden durch:

$$ f ( t ) = \frac { a t ^ { 2 } + b t + c } { t ^ { 2 } + d } \quad t \geq 0 $$

(t in Tagen, f(t) in mg/l)

Gegebene Wertetabelle:

t (in Tagen) f(t) (in mg/l)

0	12,0
1	4,5
2	6,0
3	7,5

Meine bisherige Rechnung:

$$ \begin{array} { l l } { ( 1 ) } { f ( 0 ) } &  {= \frac { c } { d } = 12 } \\ { ( 2 ) f ( 1 ) } & { = \frac { a + b + c } { 1 + d } = 4,5 } \\ { ( 3 ) f ( 2 ) } & { = \frac { 4 a + 2 b + c } { 4 + d } = 6 } \\ { ( 4 ) f ( 3 ) } & { = \frac { 9 a + 3 b + c } { 9 + d } = 7,5 } \end{array} $$

Wie geht es an der Stelle weiter? Oder sollte man anders anfangen?

Answer 1

Du brauchst nur die Bruchgleichungen aufzulösen und erhältst ein ganz normales lineares Gleichungssystem.

f(0) = 12
c/d = 12
c = 12d
c - 12d = 0

f(1) = 4.5
(a + b + c)/(d + 1) = 4.5
a + b + c = 4.5(d + 1)
a + b + c = 4.5d + 4.5
a + b + c - 4.5d = 4.5

f(2) = 6
(4a + 2b + c)/(d + 4) = 6
4a + 2b + c = 6(d + 4)
4a + 2b + c = 6d + 24
4a + 2b + c - 6d = 24

f(3) = 7.5
(9a + 3b + c)/(d + 9) = 7.5
9a + 3b + c = 7.5(d + 9)
9a + 3b + c = 7.5d + 67.5
9a + 3b + c - 7.5d = 67.5

Die Lösung macht jetzt keine Probleme mehr und man kommt auf die Lösung:

a = 12 ∧ b = -15 ∧ c = 12 ∧ d = 1

Damit lautet die Funktion jetzt:

f(t) = (12t^2 - 15t + 12)/(t^2 + 1)