Wieso ist (2k)!/[k! *k! *(k+1)] ∈ ℕ mit k ∈ ℕ?

Question

Aufgabe:

Wieso ist (2k)!/[k! *k! *(k+1)] ∈ ℕ mit k ∈ ℕ ?

Problem/Ansatz:

Also ich kann das ganze ja auch schreiben als:

(2k * (2k-1) * (2k-2) * ... * 2 * 1) / ((k * (k-1) * (k-2) * ... * 2 * 1)* k! * k+1)

Und jetzt kann ich weitermachen mit:

(2k * (2k-1) * 2*(k-1) * (2k-3) * 2*(k-2)) ... * 2 * 1) / ((k * (k-1) * (k-2) * ... * 2 * 1)* k! * k+1).

Damit würde sich ja schonmal das erste k! aus dem Nenner wegkürzen. Jetzt weiß ich aber nichtmehr wirklich wie ich weitermachen soll. Denn damit ich klar sagen kann, dass das Ergebnis ∈ ℕ ist, müsste sich ja alles aus dem Nenner wegkürzen. Die Schritte zu dem 2ten k! und zu (k+1) fehlen mir aber noch. Danke für eure Hilfe !!!

Comments

Ich habe diese Aufgabe vor knapp einem Monat schon einmal beantwortet (damals wusste ich nicht, dass es sich um eine aktuelle Wettbewerbsaufgabe handelt). Du musst also einfach nur bei den ähnlichen Fragen suchen.

Answer 1

Hallo,

vielleicht geht es mit vollständiger Induktion.

Der Anfang ist ja einfach für n=1 und n=2 zu zeigen.

Fehlt nur der Induktionsschritt.

Es gelte (2k)!/[k! *(k+1)!] ∈ ℕ für ein festes k ∈ ℕ.

Zu zeigen:

(2k+2)!/[(k+1)! *(k+2)! ] ∈ ℕ gilt dann auch.

(2k+2)!/[(k+1)! *(k+2)!]

= (2k)!/[k! *(k+1)!] * (2k+2)*(2k+1)/[(k+1)*(k+2)]

= (2k)!/[k! *(k+1)! ] * 2*(2k+1)/(k+2)

Und nun?

:-)

Answer 2

Ein Versuch ohne Induktion:

(1)  Bekanntlich gilt \(\displaystyle\binom nk:=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\in\mathbb N\)  für alle \(n,k\in\mathbb N\) mit \(k\le n\).
      Insbesondere gilt \(\displaystyle\binom{2n}n=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\).

(2)  Unter Verwendung von (1) rechne nach, dass \(\displaystyle\binom{2n+1}{n+1}=\binom{2n}n\cdot\frac{2n+1}{n+1}\)  gilt.

(3)  Nach (1) gilt \(\displaystyle2\cdot\binom{2n}n-\binom{2n+1}{n+1}\in\mathbb Z\).
      Nach (2) folgt daraus \(\displaystyle\binom{2n}n\cdot\frac1{n+1}\in\mathbb Z\).