Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen n gilt

Question

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Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt
$1+\frac{n}{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{2^{n}} \frac{1}{i} \leq n+1$

Zeigen Sie für alle natürlichen Zahlen n gilt

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)

Hier die Abschätzung nach unten:$$\sum\limits_{i=1}^{2^n}\frac 1i=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$$$=1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$\ge1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^n}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$=1+\overbrace{\frac12+\frac12+\frac12+\cdots+\frac12}^{=\text{\(n\) Summanden}}=1+\frac n2$$

Und hier die Abschätzung nach oben:$$\sum\limits_{i=1}^{2^n}\frac 1i=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$$$=1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$\le1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac13\right)+\left(\frac15+\frac15+\frac15+\frac15\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}+1}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$\le1+\overbrace{\frac12+\frac23+\frac45+\cdots+\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}+1}}^{=\text{\(n\) Summanden}}\le1+\overbrace{1+1+1+\cdots+1}^{=\text{\(n\) Summanden}}=1+n$$

Bei beiden Abschätzungen mussten wir immer auch Gleichheit in Betracht ziehen, für den Fall, dass $n=0$ ist.

Comments

Können Sie diese Aufgabe lösen, indem Sie die Richtigkeit der Ungleichung beweisen, bei n plus 1

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Ist doch passiert, das ist der zweite Teil der Lösung.

Oder möchtest du hier eine vollständige Induktion ansetzen? Die brauchst du gar nicht, man kann den Beweis, wie in meiner Antwort gezeigt, auch direkt führen.