Aloha :)
Hier die Abschätzung nach unten:$$\sum\limits_{i=1}^{2^n}\frac 1i=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$$$=1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$\ge1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac14+\frac14\right)+\left(\frac18+\frac18+\frac18+\frac18\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^n}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$=1+\overbrace{\frac12+\frac12+\frac12+\cdots+\frac12}^{=\text{\(n\) Summanden}}=1+\frac n2$$
Und hier die Abschätzung nach oben:$$\sum\limits_{i=1}^{2^n}\frac 1i=1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$$$=1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$\le1+\overbrace{\left(\frac12\right)+\left(\frac13+\frac13\right)+\left(\frac15+\frac15+\frac15+\frac15\right)+\cdots+\underbrace{\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}+1}\right)}_{\text{\(2^{n-1}\) Summanden}}}^{=\text{\(n\) Klammern-Paare}}$$$$\le1+\overbrace{\frac12+\frac23+\frac45+\cdots+\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}+1}}^{=\text{\(n\) Summanden}}\le1+\overbrace{1+1+1+\cdots+1}^{=\text{\(n\) Summanden}}=1+n$$
Bei beiden Abschätzungen mussten wir immer auch Gleichheit in Betracht ziehen, für den Fall, dass \(n=0\) ist.
