Bestimmen Sie das Bild der Funktion f(x) = 2(log(x)^2-1).

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Bild der Funktion f: ℝ^>0 → ℝ mit f(x) = 2(log(x)²-1).

Problem/Ansatz:

Nachdem ich mir einige Punkte rausgesucht habe, komme ich auf den Schluss, dass das Bild der Funktion wie folgt lauten müsste:

Bild_f = (0 ; -2 ]

Ist dies korrekt? Und reicht diese Angabe aus mathematischer Sicht aus, wenn man das Bild angeben soll? Vielen Dank.

Answer 1

Schau dir mal den Graphen der Funktion an, z. B. mit GeoGebra.

Answer 2

Aloha :)

$$\log^2(x)\ge0\implies\log^2(x)-1\ge-1\implies2(\log^2(x)-1)\ge-2$$Das Bild ist daher \(W=\mathbb R^{\ge-2}\).

~plot~ 2*(ln(x)^2-1) ; [[0|6|-3|10]] ~plot~

Comments

Vielen Dank!

Leider wahrscheinlich eine sehr blöde Frage, aber warum ist zwischen 0 und 1 noch eine Nullstelle? Hintergrund: Ich hatte die Aufgabe Nullstellen der Funktion f(x) = 2(log²(x)-1) zu berechnen.

Es liegt eine Nullstelle vor, wo log²(x) = 1 ist, was bei x = e der Fall ist. Wie komme ich auf die zweite Nullstelle?

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Bei \(\log(x)=-1\) bzw. \(x=\frac1e\) liegt auch eine Nullstelle, weil die Logarithmusfunktion quadratisch eingeht.