Relation, Äquivalenz, Elemente

Question

Beispiel :
Sei ℜ die durch
xℜy ⇔ (x²+2)(y+1) = (y²+2)(x+1)
definierte Relation auf ℝ.

-) Bestimmen Sie für jedes x ∈ ℝ die Anzahl Elemente in der Äquivalenzklasse [x].

Würde mich für einen Ansatz freuen, wie ich hier vorgehen soll. Die anderen Aufgaben zu Äquivalenzrelationen sind mir klar.

Answer 1

Löse die Gleichung

      \((x^2+2)(y+1) = (y^2+2)(x+1)\)

nach \(y\).

Answer 2

Sei ℜ die durch
xℜy ⇔ (x2+2)(y+1) = (y2+2)(x+1)
definierte Relation auf ℝ.

Es geht also darum:

Wenn man ein x hat, wie viele y gibt es mit xℜy

Dazu muss ja gelten  (x^2+2)(y+1) = (y^2+2)(x+1)

$$<=> \frac{y+1}{y^2 +2}=  \frac{x+1}{x^2 +2}$$

Wenn man nun ein x hat, dann steht rechts also (außer

für x=-1) eine von x abhängige Zahl c und es ist die

Frage wie viele y gibt es mit  $$<=> \frac{y+1}{y^2 +2}=  c $$

<=>   y+1 = c*y^2 + 2*c (und da ja c≠0 )

<=>  y^2 - y/c + 2 - 1/c = 0

Das ist eine quadratische Gleichung

und du musst also nur schauen wie viele

Lösungen die hat.

Answer 3

(x2+2)(y+1) = (y2+2)(x+1) lässt sich umstellen zu (x²+2)/(x+1)=(y²+2)/(y+1)

Betrachte die Funktion f(x)= (x²+2)/(x+1). Es gibt maximal zwei x-Werte mit dem gleichen Funktionswert. Damit kann jede Äquivalenzklasse höchstens zwei Elemente haben. Die Minimum- bzw. Maximumstelle hat keine weitere Stelle mit dem gleichen Wert.