Lineare Algebra, Hessesche Normalform

Question

Seien a = (-2 4)^T und b = (-3 1)^T Koordinatenvektoren der Punkte A und B bzgl eines kartesischen Koordinatensystems des E². 

1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g_AB in Hessescher Normalform und vereinfachen Sie diese soweit wie möglich. 

Answer 1

Du brauchst nur einen Normalenvektor zum Richtungsvektor der Geraden durch a und b und musst diesen dann normieren. Dann kannst du die Hessesche Normalform einfach aufstellen.

Also 1.) Normalenvektor bestimmen. Der Richtungsvektor ist b-a.

$$b-a = [-3~~ 1]^{T} - [-2~~ 4]^{T} = [-1~~-3]^{T}$$

Für einen Normalenvektor gilt, dass dieser senkrecht zu b-a steht, also das Skalarprodukt von b-a und n gleich 0 ist:

$$[n_1~~ n_2]^{T} \cdot [-1~~-3]^{T} = -n_1 - 3n_2 = 0 \Leftrightarrow n_1 = -3n_2$$

Wähle also n₂ beliebig, z.B.

$$n_2 = 1 \Rightarrow n_1 = -3n_2 = -3$$

Also

$$n = [-3~~1]^{T}$$

Jetzt muss man diesen noch normieren, d.h. auf die Länge 1 bringen:

$$\frac{1}{||n||} \cdot n = \frac{1}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2}} \cdot n$$

Jetzt kann man die Hessesche Normalform aufstellen:

$$g_{AB}: <\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot n, x-b> = 0$$

Jeder Punkt x, der diese Gleichung erfüllt, liegt auf der Geraden.

Du kannst sie noch ausmultiplizieren.

Comments

Was muss ich denn jetzt ausmultiplizieren?

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Am Ende, das in den Dreiecks-Klammern ist ein Skalarprodukt. Du kannst ausrechnen:

$$[\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot (-3) ~~ \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot 1]^{T} \cdot ([x_1 ~~ x_2]^{T} - [-3 ~~ 1]^{T}) = 0$$