Hessesche Normalform durch drei Punkte aufstellen - Musterlösung nicht nachvollziehbar...

Question

Betrachten Sie die Ebene \( E, \) die durch die Punkte \( A(1,0,-1), \) \( B(1,-1,0) \) und \( C(0,0,1) \) verläuft.
a) Geben Sie einen Normalenvektor der Ebene an und stellen Sie die Hessesche Normalform der Ebenengleichung auf.

LÖSUNG:

Der Normalenvektor ergibt sich als Kreuzprodukt der beiden Differenzvektoren

 \( \vec{a}_{1}= \) (0,-1,1) und \( \vec{a}_{2}=(-1,1,1): \vec{n}=\vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2}=(-2,-1,-1) . \)

Für die Hessesche Normalformmuss der Normalenvektor normiert werden: \( \vec{e}_{n}=\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot(2,1,1) \)

Nun macht meine Professorin folgendes:

\( \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot(2,1,1) \cdot((x, y, z)-(0,0,1))=0 \)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{6}} x+\frac{1}{\sqrt{6}} y+\frac{1}{\sqrt{6}} z-\frac{1}{\sqrt{6}}=0 \)

Meine Frage dazu → das ist doch die Parameterform und nicht die Hessische Normalform?

Comments

Eine Parameterform ist doch von der Form

$$ \vec x = \vec{v}_1 + \lambda \cdot \vec s_1 + \mu \cdot \vec s_2, \quad \lambda, ~\mu \in K $$

oder nicht?

Answer 1

Parameterform ist es nicht ( s. Kommentar).

Es ist eine Koordinatenform, die kannst du aber auch vektoriell schreiben als

$$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{6}}=0$$