Hessesche Normalform durch drei Punkte aufstellen - Musterlösung nicht nachvollziehbar...

Question

Betrachten Sie die Ebene $E,$ die durch die Punkte $A(1,0,-1),$ $B(1,-1,0)$ und $C(0,0,1)$ verläuft.
a) Geben Sie einen Normalenvektor der Ebene an und stellen Sie die Hessesche Normalform der Ebenengleichung auf.

LÖSUNG:

Der Normalenvektor ergibt sich als Kreuzprodukt der beiden Differenzvektoren

 $\vec{a}_{1}=$ (0,-1,1) und $\vec{a}_{2}=(-1,1,1): \vec{n}=\vec{a}_{1} \times \vec{a}_{2}=(-2,-1,-1) .$

Für die Hessesche Normalformmuss der Normalenvektor normiert werden: $\vec{e}_{n}=\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot(2,1,1)$

Nun macht meine Professorin folgendes:

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot(2,1,1) \cdot((x, y, z)-(0,0,1))=0$
$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{6}} x+\frac{1}{\sqrt{6}} y+\frac{1}{\sqrt{6}} z-\frac{1}{\sqrt{6}}=0$

Meine Frage dazu → das ist doch die Parameterform und nicht die Hessische Normalform?

Comments

Eine Parameterform ist doch von der Form

$$\vec x = \vec{v}_1 + \lambda \cdot \vec s_1 + \mu \cdot \vec s_2, \quad \lambda, ~\mu \in K$$

oder nicht?

Answer 1

Parameterform ist es nicht ( s. Kommentar).

Es ist eine Koordinatenform, die kannst du aber auch vektoriell schreiben als

$$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{6}}=0$$