Optimieren Sie f(x,y) = √x*y unter der Bedingung g(x,y) = x + y = 4. Lagrange Ansatz(?)

Question

Meine Frage bei der Aufgabe ist, wie ich vorgehe, wenn eben eine Wurzel vorhanden ist. Was kommt dabei raus, wenn ich nach X Ableite zum Beispiel? 1/2*y*(x*y)^-1/2 ?

Wie gehe ich da vor...?

PS: Verwendet werden soll der Lagrange Ansatz oder wie der heißt :)

Answer 1

Schau dir mal im Wikipedia-Artikel über den Lagrange - Multiplikator das Beispiel mit Nebenbedingung ohne verschwindenden Gradienten an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator#Beispiele

Das sollte dir schon weiter helfen.
Wenn du trotz eingehender Beschäftigung mit diesem Beispiel nicht klar kommst, dann frag bitte noch einmal nach.

Answer 2

Optimieren Sie \(f(x,y) = \sqrt{x}\cdot y\) mit \(g(x,y) = x + y - 4\).

\(f(x,y,λ)=\sqrt{x}\cdot y+λ(x + y - 4)\)

1.)\(f_x(x,y,λ)=\frac{y}{2\sqrt{x}}+λ\)                 1.)\(\frac{y}{2\sqrt{x}}+λ=0\)

2.)\(f_y(x,y,λ)=\sqrt{x}+λ\)                   2.)\(\sqrt{x}+λ=0\)

3.)\(f_λ(x,y,λ)=x + y - 4\)               3.)\(x + y - 4=0\)

\(1.) - 2.)\):

 \(\frac{y}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}=0| \cdot 2\sqrt{x}\)

\(y-2x=0\)   \(y=2x\)        in  3.)  \(3x=4\)

 \(x=\frac{4}{3}\)     \(y=\frac{8}{3}\)