Lagrange Funktion √x + √y unter NB x+y =100 lösen

Question

die Funktion f(x,y) = √x + √y soll unter der Nebenbedingung x+y=100 optimiert werden.

Ich gehe folgendermaßen vor:

1) Lagrange Funktion aufschreiben:

L(x,y) = √x+ √y-λ(x+y-100)

2) Nach x und y ableiten

L'(x) = 1/2x^-0,5 - λ

L'(y) = 1/2y^-0,5 - λ

3) Gleichungen = 0 setzen und nach λ auflösen

1/2x^-0,5 = λ

1/2y^-0,5= λ

4.) λ=λ setzen um eine Variable zu ermitteln

1/2x^-0,5=1/2y^-0,5 I : 1/2

x^-0,5 = y^-0,5 I ln()

ln(x^-0,5) = ln(y^-0,5)

-0,5ln(x) = -0,5ln(y)

Diese Vorgehensweise ist vielleicht nicht die gebräuchliche (oder etwa doch?) aber ich komme mit diesem Schema für gewöhnlich am besten klar.

Meine letzte Lagrange Funktion ist schon ein bisschen her und nun komme ich nicht weiter. Bei meiner Gleichung erhalte ich ja zwangsläufig x=y. Normalerweise setze ich die Variable die ich erhalten habe in die NB ein und erhalt so die andere Variable. Dann errechne ich mein λ und setze x,y in die Ausgangsfunktion ein um den Optimalwert zu berechnen. Wie muss ich aber in diesem Fall vorgehen, wenn x=y ist?

Answer 1

als erstes müsste kurz festgestellt werden, dass für dein Optimum x und y beides positive reelle Zahlen sind.

Was du vergessen hast:

Du musst noch die partielle Ableitung nach lambda durchführen, damit du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten hast. (Deswegen kommst du auch nicht mehr weiter).

Als Endergebnis müsste x = y = 50 rauskommen.

Gruß

Answer 2

Die Funktion \(f(x,y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) soll unter der Nebenbedingung \(x+y=100\) optimiert werden.

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

\(f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{100-x}\)

\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{2\sqrt{100-x}}\)

\( \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{2\sqrt{100-x}}=0\)

\( \frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{100-x}}\)

\( \frac{1}{4x} =\frac{1}{4(100-x)}\)

\( x=50\)  \( y=50\)

Optimum: \(O=\sqrt{50}+\sqrt{50}=2\sqrt{50}=10\sqrt{2}\)