Mit Langrangemethode Maximum bestimmen: U(x,y) = √x + y und NB: x+4y = 100

Question

Hallo :)

Gegeben ist die Nutzenfunktion U (x, y) = √x + y. Bestimmen Sie mithilfe der Lagrangemethode das Maximum der Nutzenfunktion unter der Budgetrestriktion x+4y = 100. Überprüfen Sie auch die hinreichende Bedingung.

 1) Lx = 0.5 x ^{-1/2} +λ

2) Ly= 1+4λ

3) Lλ= 100-x-4y

1) / 2) 0,5x ^{-1/2} = 1/4 --> x=4
x=4 in 3) einsetzen ergibt y=24

--> U(x,y)=26

soweit bin ich nun gekommen. Wie prüfe ich nun die hinreichende Bedingung? War an dem Tag als der Stoff durchgenommen wurde leider krank und hab also wirklich gaar keine ahnung :/ würde mich über eine Antwort sehr freuen, vor allem über eine, die die zwischenschritte erläutert, wie man vorgehen muss.
Wäre über eine Antwort wirklich überaus dankbar!

 

Comments

ach und, ist die schreibweise so formal richtig? :) würde in der klausur ungern unnötig punkte verlieren, da es bei mir so schon sehr knapp werden wird^^

Answer 1

Zur Form: Du musst die Gleichungen noch 0 setzen. Sonst wird das nichts.

Sonst ists aber richtig. Am Schluss hätte ich wohl U(4,24) = 26 geschrieben ;).


Damit hast Du die notwendige Bedingung bereits erledigt. Fehlt die hinreichende. Als erstes würde mir da die Hesse-Matrix ins Auge springen -> die klappt hier aber nicht.

Als zweites würde ich die Nebenbedingung anschauen und schauen ob diese kompakt ist oder nicht. Das ist sie nicht, weswegen das auch nicht geht...oder hast Du ein Begrenzungsintervall? Dann könnte man hiermit arbeiten ;).

(Deswegen auch nur als Kommentar. Vielleicht kommst Du mit den Anregungen weiter)


Grüße

Answer 2

Gegeben ist die Nutzenfunktion \(U (x, y) = \sqrt{x} + y\). Gesucht ist das Maximum der Nutzenfunktion unter der Budgetrestriktion \(x+4y = 100\).

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

\(y = 25-\frac{1}{4}x\).

\(U (x) = \sqrt{x} + 25-\frac{1}{4}x\)

\(U'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4}=0\)

\(\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{4x}=\frac{1}{16}\)

\(x=4\)   \( y=25-1=24\)

\(U =2 +24=26\)