Mathematisch Beweisen, Mengenlehre

Question

Mathematisch beweisen:

Hallo ich habe paar Probleme bei Mathematischen beweisen. Ich weiß nicht genau wie ich anfangen soll so einen beweis zu schreiben.

Zu zeigen ist:

A ∪ B ⊂ X     mit dem Vorwissen: Seien X, A und B Mengen und A,B ⊂ X.

Außerdem ist zu zeigen:

((A \ B) ∪ (B \ A)) ∪ (A ∩ B) = A ∪ B

besonders beim zweiten habe ich Probleme, könnte mir jemand einen Ansatz geben und erklären wie ich dort selber den Beweis fortführen kann?

Answer 1

Mengengleichheit zeigst du meistens so:

Sei x aus der einen Menge

==>  ......   ==>  .... etc

==>  x ist aus der anderen Menge.

Dann umgekehrt.

Bei der 2. Aufgabe etwa so:

Sei x ∈ ((A \ B) ∪ (B \ A)) ∪ (A ∩ B)

==> x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A)   ∨   x ∈ A ∩ B

==> ( x ∈ A \ B  ∨ x ∈ B \ A)  ∨ ( x ∈ A  ∧x ∈ B)

==> (( x ∈ A ∧ x∉ B ) ∨ ( x ∈ B ∧ x∉ A) ) ∨   ( x ∈ A ∧x ∈ B)

"oder" ist assoziativ und kommutativ

==>  ( x ∈ A ∧ x∉ B ) ∨  ( x ∈ A ∧x ∈ B) )   ∨ ( x ∈ B ∧ x∉ A) )

Distributiv anwenden

==>   x ∈ A ∧  ( x∉ B ∨ x ∈ B)    ∨ ( x ∈ B ∧ x∉ A) )

Da x∉ B ∨ x ∈ B immer wahr ist

==>    x ∈ A ∨ ( x ∈ B ∧ x∉ A) )

Das andere Distributivgesetz anwenden

==>  ( x ∈ A ∨  x ∈ B ) ∧ (  x ∈ A ∨  x∉ A)

2. Teil ist immer wahr, also

==>  x ∈ A ∨  x ∈ B

==>  x ∈  A ∪ B.

Jetzt die andere Richtung, dazu brauchst du nur zu argumentieren,

dass alle Schritte auch rückwärts gehen.

Comments

Vielen lieben dank, ich muss mich da jetzt erstmal durchkämpfen das alles zu verstehen. Danke dass sie sich dafür die Zeit genommen haben.

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Text erkannt:

\( ==>x \in(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \vee x \in A \cap B \)

woher kommt das v , jetzt her, also wie weiß ich dass das da ein oder hin kommt, bzw. genau an dieser stelle, wegen dem vereinigt zeichen?

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ich mache gerade jz doch erstmal das erste beispiel:

x ∈ A ∪ B ⊂ X

=> x ∈ A ⊂ X  ∨  x ∈ B ⊂ X

ist der anfang so richtig?

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außerdem was genau meinen sie beim argumentieren bei dem zweitem beispiel, das habe ich jetzzt gut verstanden aber der weg rückwarts verwirrt mich

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Für A ∪ B ⊂ X musst du ( Wir duzen hier.) zeigen:

Wenn x∈A ∪ B  dann auch  x∈X.

Nach Def. von ∪ gilt:

x∈A ∪ B  

==>   x∈A ∨   x∈B

Wegen der Voraussetzung A,B ⊂ X  folgt

==>  x∈X ∨  x∈X     Idempotenz von ∨ liefert

==>    x∈X     q.e.d.

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ah okay, ich verstehe und wie funktioniert der weg bei dem zweiten beispiel rückwarts, du hast ja was von argumentieren geschrieben oben?

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Achso, ich verstehe jetzt wie sie das meinen, aber ich weiß nicht ob mir das erlaubt ist nur das zu schreiben. ich würde das gerne rückwärts nochmal mathematisch zeigen.

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ich weiß halt nicht jetzt wie ich das rückwärts mache

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Ich versuch schon den ganzen tag das Rückwärts hinzukriegen, aber ich verwirre mich selber viel zu stark..