Menge des Kapitals im Kostenminimum

Question

Aufgabe: Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf F(K,L) = KL^3

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK= 10 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL= 12. Minimieren Sie die Kosten eines Unternehmens unter Berücksichtigung sein Produktionsfunktion, wenn ein Output von 960 produziert werden soll.

Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, ob der Lösungsweg richtig war, aber das Ergebnis 944,38 ist leider falsch..könnte mir bitte jemand helfen, zur richtigen Lösung zu kommen? Ich weiß, dass es schon ähnliche Fragestellungen gibt, würde es aber trotzdem gerne erklärt bekommen.:)

Comments

Ich weiß nicht, ob der Lösungsweg richtig war

Wenn Du nicht mitteilst, was Dein Lösungsweg war, kann es Dir auch niemand sagen.

Ich kriege die Produktion von 960 billiger hin, für knapp 113.

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Wäre dein Ergebnis dann genau 848? Sie sind eben etwas genau beim Runden:)

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Ich habe geschrieben, knapp 113. Nicht 848.

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Ich habe jetzt 112,4 rausbekommen, stimmen die Dezimalzahlen?:)

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Zum dritten Mal:

Wenn Du nicht konkret aufschreibst wie Du das gemacht hast, wird Dir niemand sagen können wo der Fehler lag.

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Kosten: 10K + 12 L

Nebenbedingungen: 960= K*L^3

Lagrange-Funktion aufstellen:

f(K,L,£(nehme dieses Zeichen für Lagrange))= 10K +25L+£*(960-K*L^3)

Dann habe ich nach K und L aufgelöst:

10=£L

12=£K

Dann habe ich umgeformt und dividiert:

10/12=L/K     | *12, *K

10K = 12L.    | :10

K= 1,2L

Dann habe ich K in die Nebenbedingungen eingesetzt:

K*L = 960

1,2 L * L = 960

1,2L^2= 960

L= 28,28427

Und dann habe ich K berechnet:

1,2* 28,28427 = 33,9411255

So hatte ich es gerechnet:)ich hoffe jetzt ist es etwas veständlicher:)

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen die Kosten \(C(K;L)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(K;L)\) minimieren:$$C(K;L)=10K+12L\to\text{Min}\quad;\quad F(K;L)=KL^3=960$$In einem Extremum muss nach Lagrange der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der sog. Lagrange-Multiplikator.$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{10}{12}=\lambda\binom{L^3}{3KL^2}$$Wir dividieren die Gleichung der 2-ten Komponente durch die Gleichung der 1-ten Komponente:$$\frac{12}{10}=\frac{\lambda\cdot3KL^2}{\lambda\cdot L^3}=\frac{3K}{L}\quad\implies\quad L=\frac{10}{12}\cdot3K=\frac52K$$Das setzen wir in die Nebenbedingung ein, um \(L\) zu bestimmen:$$960=KL^3=K\cdot\frac{5^3}{2^3}K^3=\frac{125}{8}K^4\quad\implies\quad K^4=960\cdot\frac{8}{125}=\frac{1536}{25}$$

Damit haben wir \(K\) und \(L\) gefunden:$$K=\sqrt[4]{\frac{1536}{25}}\approx2,799708\quad;\quad L=\frac52K\approx6,999271$$Die optimalen Kosten liegen bei:$$C_{\text{min}}=10\cdot2,799708+12\cdot6,999271\approx111,99\,\mathrm{GE}$$

Comments

Vielen, vielen Dank!!:)  Ich war gestern echt am Verzweifeln..Aber dank dir ist das Ganze schon deutlich verständlicher. Danke für die Mühe:)

Lg.

Answer 2

minimiere K*10 + L*12 unter der Nebenbedingung KL³ = 960

(allenfalls sind noch die üblichen Nichtnegativitätsbedingungen nötig)

Comments

Also ich hatte zuerst die Hauptfunktion, die Nebenfunktion und die Lagrangefunktion aufgestellt. Dann habe ich na h L und K aufgelöst. Dann habe ich das K in die Nebenbedingungen eingesetzt und L berechnet..dann habe ich noch das K mit dem L multipliziert.

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Wenn Du nicht konkret aufschreibst wie Du das gemacht hast, wird Dir niemand sagen können wo der Fehler lag.

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In der Aufgabe steht

Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL= 12.

Weiter oben schreibst Du

Lagrange-Funktion aufstellen:
...= 10K +25L+£*(960-K*L³)

Bereits das kann nicht stimmen.

Mit dem von Dir genannten K = 33.9411255 und L = 28.28427 kommt man auch nicht auf die von Dir genannten Kosten von 944,38 oder 112,4, weder mit dem richtigen noch mit dem falschen Preis für L. Oder soll das K gewesen sein? Dann wäre es auch falsch. Auch das K = 33... stimmt nicht.

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Ups habe das sicher falsch abgeschrieben, als ich die Aufgabe mit einer anderen verglichen habe..ich habe aber trotzdem mit dem richtigen Wert weitergerechnet.

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Ich kann ehrlich gesagt aufgrund Deiner Kommentare zur Aufgabe nicht ganz nachvollziehen, wie Du Lagrange angewendet hast. Das Ergebnis ist denn auch um ein Vielfaches zu hoch. Eine Musterlösung zu einem ähnlichen Problem (aber halt mit anderen Zahlen) findet sich hier in meiner Antwort.