Menge Q, Körper, Beweisaufgabe

Question

Hallo,
meine Aufgabe lautet:
Betrachte auf der Menge ℚ der rationalen Zahlen zwei neuen Verknüpfen (Addition und Multiplikation):
a⊕b:=a+b-1
a⊗b=ab-a-b+2

Ich muss zeigen, dass ℚ ein Körper ist. Und dann sagen welche Elemente aua ℚ die Rollen von 0 und 1 für die neuen Verknüpfungen spielen. Und dann soll ich das Inverse eines Elements a≠0 finden.

Alsi die Eigenschaften eines Körper sind:
Assoziativgesetz, Kommutativität, Inverses, Neutraleselement und Distributivgesetz. Ich weiß aber nicht wie ich es anwenden muss

Answer 1

Kommutativgesetze:

        \(a\oplus b = a+b-1 = \ldots = b\oplus a\)

      \(a\otimes b = ab-a-b+2 = \ldots = b\otimes a\)

Assoziativgesetze:

      \((a\oplus b) \oplus c = (a\oplus b)+c-1 = \ldots = a\oplus (b \oplus c)\)

      \((a\otimes b) \otimes c = (a\otimes b)+c-1 = \ldots = a\otimes (b \otimes c)\)

Fülle die Lücken mittels Termumformungen.

Zur Bestimmung der neutralen Elemente, löse die Gleichungen

        \(a\oplus z = a\)

und

        \(a\otimes u = a\)

unter Anwendung der Definitionen der neuen VErknüpfungen nach \(z\) bzw. \(u\).

Comments

Also mein Ansatz:

Kommutativgstz. a⊕b=a+b-1=b+a-1=b⊕a

a⊗b=ab-a-b+2=ba-b-a+2=b⊗a

Assoziativgstz:

(a⊕b)⊕c=(a⊕b)⊕c-1=a-1⊕(b⊕c)=a⊕(b⊕c)

(a⊗b)⊗c=(a⊗b)⊗c-1=a-1⊗(b⊗c)=a⊗(b⊗c)

Distributivgstz:

a(b⊕c)=a×b+a×c

Hier weiß ich nicht wie ich das Gesetz anwenden muss

Neutralelement:

a⊕z=a

a+z-1=a

z= 1

a⊗u=a

au-a-u+2=a

u=

Da bekomme ich nichts raus

Und meine weitere Frage wäre noch, wie ich das Inverse Element finden muss?

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Distributivgesetz:

        \(\begin{aligned}a\otimes(b\oplus c) &= a\otimes(b+c-1) \\&=a\cdot(b+c-1)-a-(b+c-1)+2\end{aligned}\)

und weiter zusammenfassen. Danach

        \((a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\)

ebenso behandeln und zeigen dass man das gleiche wie oben bekommt.

Neutrales Element bezüglich \(\otimes\):

        \(\begin{aligned}au-a-u+2 & =a &  & |+a-2\\au-u & =2a-2\end{aligned}\)

Jetzt auf der linken Seite \(u\) ausklammern und weiter nach \(u\) umformen.

Inverse Elemente:

Wie schon bei neutralen Elementen, die definierende Gleichung lösen, also

        \(a\oplus a'= z\)

für \(\oplus\) und

       \(a\otimes a'' = u\)

für \(\otimes\).

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Also bein Distributivgesetz habe ich jetzt:

a⊗(b⊕c)

a⊗(b+c-1)=a(b+c-1)-a(b+c-1)+2=

ab+ac-a-ab-ac+a+2=(a⊗b)⊗(a⊗c)

ist das so richtig?

Neutralelement bzgl ⊗:

au-u=2a-2

u(a-1)=2a-2

Also haben wir einmal

u=2a-2 und

a-1=2a-2 also a=1

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Also bein Distributivgesetz habe ich jetzt:

a⊗(b⊕c)

a⊗(b+c-1)=a(b+c-1)-a(b+c-1)+2=

ab+ac-a-ab-ac+a+2=(a⊗b)⊗(a⊗c)

ist das so richtig?

Neutralelement bzgl ⊗:

au-u=2a-2

u(a-1)=2a-2

Also haben wir einmal

u=2a-2 und

a-1=2a-2 also a=1

Inverses bzgl Addtion: a'=x+1-a

und bzgl Multiplikation: a'x=y-2+a

Wobei ich dafür noch a-1=y-2+a habe und daraus y=1 bekomme, aber was bedeutet dann y=1?

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a⊗(b+c-1)=a(b+c-1)-a(b+c-1)+2

Das ist nicht richtig.

u(a-1)=2a-2
Also haben wir einmal
u=2a-2 und
a-1=2a-2 also a=1

Wie kommst du auf diese Schlussfolgerung?

Würdest du auch zustimmen, dass wenn

        2·3 = 6

ist, wir einmal

        2 = 6 und

        3 = 6

haben?

Inverses bzgl Addtion: a'=x+1-a

Wo kommt auf ein mal das x her? Das stand nicht in der Gleichung, die du lösen solltest.

Stattdessen

        \(\begin{aligned} a\oplus a' & =z\\ a+a'-1 & =z &  & |-a+1\\ a' & =z-a+1 \end{aligned}\)

und da du ja schon festgestellt hast, dass \(z = 1\) ist, ist

        \(a' = 2-a\).

Das inverse Element von \(a\) bezüglich der \(\oplus\) ist also \(2-a\).

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Okay, also ich schaue mir das Distributivgesetz nochmal richtig an und melde mich

Ich sollte ja u ausklammern, also habe ich einmal u=2a-2 oder a-1=2a-2

Und bei dem letzten, tut mir leid. Ich hatte bei mir statt z x geschrieben

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Wenn ich beim Distributivgesetz zusammenfasse bekomme ich 2 raus. Also muss ich dann gucken, ob man bei (a⊗b)⊕(a⊗c) auch 2 rausbekommt?

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Wenn ich beim Distributivgesetz zusammenfasse bekomme ich 2 raus.

Das liegt vermutlich daran, dass du dein

        \(a(b+c-1)-a(b+c-1)+2\)

zusammengefasst hast und nicht mein

  \(a(b+c-1)-a-(b+c-1)+2\).

Ich sollte ja u ausklammern

Wenn man auf der linken Seite der Gleichung

  \(au-u =2a-2\)

\(u\) ausklammert, dann bekommt man

  \((a-1)u =2a-2\).

Diese Gleichung teilt man durch \(a-1\) und bekommt dadurch

  \(u =\frac{2a-2}{a-1}\).

Der Term auf der rechten Seite lässt sich noch weiter vereinfachen, so dass man letztendlich

        \(u = 2\)

bekommt.

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Okay tut mir leid,ich gucke mir das morgen nochmal richtig an

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So ich habe es jetzt ausgrechnet und bekomme immernoch nicht das gleiche raus:

Für a⊗(b⊕c) bekomme ich ab+ac-2a-b-c+3 raus und für (a⊗b)⊕(a⊗c) bekomme ich ab+ac-2a-b-c+4 raus