Berechnen Sie, für welche Werte von k eine maximale Wirkstoffkonzentration von 60mg/l überschritten wird.

Question

Aufgabe:

Bei einem anderen Patienten wird die Konzentration des Wirkstoffes im Blut beschrieben durch die Funktion g mit g(t) = 30*t*e^(k*t). Die Dosierung beeinflusst den Wert von k.

Berechnen Sie, für welche Werte von k eine maximale Wirkstoffkonzentration von 60mg/l überschritten wird.

Meint man mit der maximalen Wirkstoffkonzentration den Hochpunkt? Muss ich jetzt ableiten?

Answer 1

Meint man mit der maximalen Wirkstoffkonzentration den Hochpunkt?

Ja.

Muss ich jetzt ableiten?

Ja, außer du kennst ein anderes Verfahren zur Bestimmung des Hochpunktes.

Comments

Muss ich es dann mit den 60mg/l gleichsetzten? Ich komme nicht auf das Ergebnis

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Ja, du solltest irgendetwas mit den 60mg/l gleichsetzen.

Was willst du mit den 60mg/l gleichsetzen?

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Das wollte ich Sie fragen. Ich kann das nicht auflösen.

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Zuerste Hochpunkt berechnen so wie immer. Das heißt Nullstellen der Ableitung berechnen etc.

wird die Konzentration des Wirkstoffes im Blut beschrieben durch die Funktion g

Das heißt g(t) ist eine Wirkstoffkonzentration.

Wirkstoffkonzentration von 60mg/l

Auch die 60mg/l sind eine Wirkstoffkonzentration.

In der Gleichung

        g(t) = 30*t*e^(k*t)

ersetzt du also das g(t) durch 60.

mit der maximalen Wirkstoffkonzentration

Den Zeitpunkt dafür hast du ausgerechnet. Ebenfalls einsetzen. Jetzt hast du eine Gleichung in der nur noch k vorkommt.

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Könnten Sie das eventuell hier berechnen. Ich versuche es die ganze Zeit aufzulösen, aber bekomme es nicht hin.

Answer 2

Aloha :)

$$g(t)=\underbrace{30t}_{=u}\cdot \underbrace{e^{kt}}_{=v}$$$$g'(t)=\underbrace{30}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{kt}}_{=v}+\underbrace{30t}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{kt}}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{k}^{=\text{innere Abl.}}}_{=v'}=30e^{kt}\left(1+kt\right)$$Da die \(e\)-Funktion immer positiv ist, wird \(g'(t)\) nur zu \(0\), wenn die Klammer \(0\) wird, also für \(t=-\frac1k\). In diesem Fall beträgt die maximale Wirkstoffkonzentraion im Blut des Patienten:$$g_{\text{max}}=g\left(-\frac1k\right)=30\left(-\frac1k\right)e^{k\left(-\frac1k\right)}=-\frac{30}{k}e^{-1}=-\frac{30}{ke}$$Die maximale Konzentration von \(60\) Einheiten wird überschritten, für

$$-\frac{30}{ke}>60\implies-\frac{30}{k}>60e\implies\frac{1}{k}<-2e\implies k>-\frac{1}{2e}$$Wegen \(t>0\) und \(t=-\frac1k\) im Maximum, muss insbesondere \(k<0\) gelten. Das heißt für $$-\frac{1}{2e}<k<0$$wird die maximale Konzentation von \(60\) Einheiten überschritten.