Eigenvektoren, Eigenwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo alle miteinander!

Könnt ihr mir sagen, ob der Ansatz richtig ist. Mir kommt die Rechnung nicht besonders richtig vor.

Text erkannt:

h) \( \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 0\end{array}\right)= \)
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccc} -1-\lambda & -2 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ -1 & -1 & 0-\lambda \end{array}\right)^{-1-\lambda} &{-2} \\ {1} &{2-\lambda} \\ {-1} &{-1} \\ (-1-\lambda) \cdot(2-\lambda) \cdot(0-\lambda)+2+2-(-1) \cdot(2-\lambda) \cdot(-2)-(-1) \cdot(-1-\lambda)-(0-\lambda) \cdot(-2) \\ (-1-\lambda) \cdot(2-\lambda) \cdot(0-\lambda)+4-(4-2 \lambda)-(1+\lambda)-(0+2 \lambda) \\ (-1-\lambda) \cdot(2-\lambda) \cdot(0-\lambda) \cdot[(4-(2)-1-2) \end{array} \)

Answer 1

(-1 - k)·(2 - k)·(-k) + (-2)·1·(-1) + (-2)·1·(-1) - (-1)·(2 - k)·(-2) - (-1)·1·(-1 - k) - (-k)·1·(-2)

= (-1 - k)·(2 - k)·(-k) + 2 + 2 - 2·(2 - k) - (1 + k) - 2·k

= (-1 - k)·(2 - k)·(-k) + 4 - 4 + 2·k - 1 - k - 2·k

= (-1 - k)·(2 - k)·(-k) - 1 - k

= (-1 - k)·(2 - k)·(-k) + (- 1 - k)

= (-1 - k)·((2 - k)·(-k) + 1)

= (-1 - k)·(k² - 2·k + 1)

= (-1 - k)·(k - 1)²

= - ( k + 1)·(k - 1)²

Comments

Erstmal vielen lieben Dank Mathecoach!

Sind jetzt die EW

-1 und 1?

Kann ich (k-1)^2 einfach so berechnen:

k=1 ?? Muss ich hoch 2 beachten ?

Und muss ich alles ausmultiplizieren? Kann ich das irgendwie nicht schöner zusammenfassen ?

Aber im Endeffekt hab‘ ich’s endlich verstanden, danke dir!

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Ja die Eigenwerte sind 1 und -1

Die hoch 2 bedeutet das es zu dem Eigenwert wohl zwei Eigenvektoren gibt.

Mach gerne eine Kontroll-Lösung mit Wolfram

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Perfekt, vielen lieben Dank!

Answer 2

Aloha :)

Die Summe in allen Spalten ist gleich \((-1)\), also muss ein Eigenwert \(\lambda_1=-1\) sein.

Die Determinante der Matrix ist \((-1)\), also muss das Produkt aller Eigenwerte \((-1)\) sein:$$\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=-1\quad\stackrel{(\lambda_1=-1)}{\implies}\quad\lambda_2\cdot\lambda_3=1$$Die Spur der Matrix ist \(1\), also muss die Summe aller Eigenwerte \(1\) sein:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\quad\stackrel{(\lambda_1=-1)}{\implies}\quad\lambda_2+\lambda_3=2$$Die beiden Gleichungen für \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\) haben die Lösungen \(\lambda_2=\lambda_3=1\).

Also lauten die drei Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=\lambda_3=1$$

Dein Ansatz ist korrekt, aber du musst dich bei der Determinante verrechnet haben:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrr}-1-\lambda & -2 & -2\\1 & 2-\lambda & 1\\-1 & -1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(Z_3=Z_3+Z_2)}{=}\left|\begin{array}{rrr}-1-\lambda & -2 & -2\\1 & 2-\lambda & 1\\0 & 1-\lambda & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$=\underbrace{(-1-\lambda)}_{=-(1+\lambda)}\left[(2-\lambda)(1-\lambda)-(1-\lambda)\right]-\underbrace{\left[-2(1-\lambda)+2(1-\lambda)\right]}_{=0}$$$$=-(1+\lambda)(1-\lambda)^2$$

Comments

Vielen vielen Dank für die Erklärung!

Aber etwas ist noch unklar: Wie hast du im letzten Schritt die rechte Seite zusammengefasst. Ich kann es nicht nachvollziehen. Ich komm‘ generell am Ende mit dem Zusammenfassen nicht ganz klar. Also die Stelle mit  - 2 (1 - Lambda)  + 2 (1-lambda)

Und soll ich zuerst immer in der 1. Spalte Nullen erzeugen? Du hast hier nur bei der 1. Spalte Zeile 3 eine 0 erzeugt, aber wieso? Wäre es nicht besser wenn sowohl in der 2. als auch in der 3. Zeile eine 0 stehen würde?

Wobei in dem Fall funktioniert das leider nicht, da wir in der 2. Zeile  -1-lambda stehen haben, das lohnt sich nicht, oder?