Aloha :)
Die Summe in allen Spalten ist gleich \((-1)\), also muss ein Eigenwert \(\lambda_1=-1\) sein.
Die Determinante der Matrix ist \((-1)\), also muss das Produkt aller Eigenwerte \((-1)\) sein:$$\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=-1\quad\stackrel{(\lambda_1=-1)}{\implies}\quad\lambda_2\cdot\lambda_3=1$$Die Spur der Matrix ist \(1\), also muss die Summe aller Eigenwerte \(1\) sein:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\quad\stackrel{(\lambda_1=-1)}{\implies}\quad\lambda_2+\lambda_3=2$$Die beiden Gleichungen für \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\) haben die Lösungen \(\lambda_2=\lambda_3=1\).
Also lauten die drei Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=\lambda_3=1$$
Dein Ansatz ist korrekt, aber du musst dich bei der Determinante verrechnet haben:
$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrr}-1-\lambda & -2 & -2\\1 & 2-\lambda & 1\\-1 & -1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(Z_3=Z_3+Z_2)}{=}\left|\begin{array}{rrr}-1-\lambda & -2 & -2\\1 & 2-\lambda & 1\\0 & 1-\lambda & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$=\underbrace{(-1-\lambda)}_{=-(1+\lambda)}\left[(2-\lambda)(1-\lambda)-(1-\lambda)\right]-\underbrace{\left[-2(1-\lambda)+2(1-\lambda)\right]}_{=0}$$$$=-(1+\lambda)(1-\lambda)^2$$