Aufgabe:
Lokaler Diskretisierungsfehler im Heun-Verfahren.
a) Betrachten Sie ein AWP einer autonomen Dgl., d.h. \( y^{\prime}=f(y), y\left(x_{0}\right)=y_{0} \) mit \( y \in \mathbb{R} \). Das Heun-Verfahren lautet dann
\( y_{1}=y_{0}+\frac{h}{2}\left[f\left(y_{0}\right)+f\left(y_{0}+h f\left(y_{0}\right)\right)\right] \)
Leiten Sie eine Formel für den lokalen Diskretisierungsfehler \( \tau(h) \) = (y(x0 + h) - y1 ) / h = (y(x0 +h)-y0 ) / h - f(y0 + \( \frac{1}{2} \) h*f(y0)) her.
b) Für ein AWP einer nichtautonomen Dgl., d.h. \( y^{\prime}=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0} \) mit \( y \in \mathbb{R} \), folgt bei der Heun-Methode
\( y_{1}=y_{0}+\frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f\left(x_{0}+h, y_{0}+h f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\right] \)
Zeigen Sie, dass in diesem Fall \( \tau(h)=\mathcal{O}\left(h^{2}\right) \) gilt.
Hinweis: Verwenden Sie Taylor-Entwicklungen unter der Annahme \( y \in C^{3} \) und \( f \in C^{2} \).
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
