Beweis rekursive Bildungsvorschrift arithmetischer Zahlenfolgen

Question

Aufgabe: Rekursive Bildungsvorschrift arithmetischer Zahlenfolgen beweisen

Beweise folgendes: ∀ n ∈ ℕ (n ≥ 1): an+1 = an + d

Problem/Ansatz: Ich habe versucht, mithilfe der vollständigen Induktion zu beweisen. Für n = 1 ist die Aussage wahr, dann habe ich die Induktionsvoraussetzung ∀ n ∈ ℕ (n ≥ 1): an+1 = an + d und schließlich die Induktionsbehauptung, dass die Formel dann auch für n+1 gelten muss. Hier habe ich folgendes aufgeschrieben:

a_n+1+1 = a_n+1 + d

a_n+2 = a_n + d + d

Ich komme hier nicht weiter, wie kann ich beweisen, dass die Formel für n + 1 gilt?

Comments

Wie ist denn bei euch eine arithmetische Folge definiert ?

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Es ist eine arithmetische Folge, wenn jedes Folgenglied das arithmetische Mittel der beiden
benachbarten Folgenglieder ist oder wenn die Differenz d zweier
aufeinander folgender Folgenglieder stets konstant ist.

Answer 1

∀ n ∈ ℕ (n ≥ 1): a_n+1 = a_n + d heißt. Der Nachfolger jedes Folgengliedes ist um d größer, als sein Vorgänger. Das ist eine allgemeine Definition einer arithmetischen Folge mit der konstanten Differenz d, bei der das Anfangsglied nicht genannt wird. Sei das Anfangsglied a₁, dann heißt die Folge a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, .... und so weiter.

Comments

Danke, das habe ich verstanden. Aber ich soll ja jetzt beweisen, dass die Formel für n+1 gilt, aber ich weiß nicht, was ich dazu jetzt noch zeigen soll.

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Eine Definition kann man nicht beweisen.

Answer 2

Da bietet sich eure 2. Definition an:

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist

a_n+1 - a_n = (a_n + d ) - a_n = d , also konstant.