Aufgabe:
Hallo,
Ich habe Probleme mit dem beigefügten Arbeitsblatt. Die letzten Vorlesungen haben sich mit der Integrierbarkeit von Funktionen beschäftigt. Nun geht es um das berechnen von Integralen , dem Bilden von Stammfunktionen und berechnen von Grenzwerten. Meine Überlegungen zu den Aufgaben:
( Wir haben bis jetzt nur Riemann Integrierbarkeit)
2)
Um den Limes anzugeben, muss ich das Integral ausrechnen. Geht gegen 0 also steht da ja φ(0∗x)/1+×2
Hier hapert es beim Bilden der Stammfunktion um das gewünschte Ergebnis zu zeigen. Das gleiche gilt bei b
3) Muss ich hier eine Stammfunktion zu den Funktionen x,x^2,x^3 angeben ?
4) da setzt die Überforderung ein....
Danke für jede Hilfe
Problem/Ansatz:
Zu 2)
Ich weiß durch die Stetigkeit, dass
∣φ(x)−φ(0)∣<ε für alle ∣x∣<δ , also
φ(0)−ε<φ(x)<φ(0)+ε für −δ<x<δ.
Ebenfalls kann ich sagen, da h->0
φ(0)−ε<φ(hx)<φ(0)+ε
(φ(0)−ε) * ∫-11(dx/1+x2) < ∫-11((φ(hx)*dx)/(1+x2) < (φ(0)+ε) * ∫-11(dx/1+x2)
->(φ(0)−ε)* ∫-11 arctang(x) +C = (φ(0)−ε)* (π/4+π/4)
-> (φ(0)−ε) *π)/2
aber das ist ja noch nicht ganz das was in der Aufgabenstellung gefordert war.... Also bitte ich hier nochmal um das Aufzeigen und korrigieren meiner Fehler.
Text erkannt:
Aufgabe 2 (4 Punkte).
(a) Sei \( \varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Zeigen Sie:
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int \limits_{-1}^{1} \frac{\varphi(h x)}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi \varphi(0)}{2} \)
(b) Bestimmen Sie die Grenzwerte
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\exp \left(\frac{x}{n}\right)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x, \quad \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int \limits_{0}^{1} x^{p} \cos (\pi-h x) d x \quad \text { für } p>0 \)
Aufgabe 3 (4 Punkte). Besitzt \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( x \mapsto \max \left\{x, x^{2}, x^{3}\right\} \) eine Stammfunktion? Geben Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion an und berechnen Sie \( \int \limits_{-3}^{2} f d x \).
Aufgabe 4 (4 Punkte). Seien \( I, J \) Intervalle und Funktionen \( f \in C^{0}(I) \) sowie \( \varphi, \psi \in C^{1}(J) \) mit \( \varphi(J) \subset I, \psi(J) \subset I \) seien gegeben. Zeigen Sie, dass dann die Funktion \( G: J \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( G(x):=\int \limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(y) d y, \quad x \in J \)
zur Klasse \( C^{1}(J) \) gehört und dass \( G^{\prime}(x)=f(\psi(x)) \psi^{\prime}(x)-f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \) für \( x \in J \) gilt.
