Zeigen Sie, dass sich die Funktion f(t) = \frac{sin(t)}{t} auf ℝ≥0 stetig fortsetzen lässt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass sich die Funktion f(t) = \( \frac{sin(t)}{t} \) auf ℝ^≥0 stetig fortsetzen lässt.

Problem/Ansatz:

Zunächst einmal ist f stetig als Komposition stetiger Funktionen \( \frac{1}{t} \)  und sin(t). Doch wie geht man hier weiter vor? Welche Stellen untersucht man?

Comments

Danke! Also im Bereich ℝ^<0 ?

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Der Aufgabentext verlangt eine Fortsetzung auf nichtnegative reelle Zahlen. Offen wäre demnach nur die Festlegung von f(0)

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Danke für die Rückmeldungen. Ich habe dies nun wie folgt gelöst:

Die Funktion lässt sich in x = 0 stetig fortsetzen, da der Linksseitige und Rechtsseitige Grenzwert 1 ist:

\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) mit l. Hospital = cos(x) → 1

Ist dies als Begründung ausreichend?

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Zusätzlich zu der oben genannten Aufgabe, hätte ich noch die folgende Aufgabe:

Sei für t ∈ ℝ>0 f(t) = \( \frac{sin(t)}{t} \) gegeben. Begründen Sie mit der zuvor gestellten Aufgabe (stetige Fortsetzung), warum das umeigentliche Integral \( \int\limits_{0}^{1} \)  \( \frac{sin(t)}{t} \) dt existiert.

Um zu beweisen, dass ein umeigentliches Integral existiert muss gezeigt werden, dass der Grenzwert existiert (wenn ich mich nicht täusche). Und für den Grenzwert müsste gelten:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) → 0, oder? Reicht dies als Begründung?

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Hallo,

Deine Begründung ist etwas diffus: Welcher Grenzwert muss existieren?

Jedenfalls, wenn wir mit f jetzt die stetige Fortsetzung auf \(\mathbb{R}^{\geq 0}\) bezeichnen; dann gilt ja (wie für jede stetige Funktion) mit \(e>0\)

$$\int_0^1 f(t) dt= \lim_{e \to 0} \int_e^1f(t) dt$$

Und die Konvgenz auf der rechten Seite ist ja gerade die Definition des uneigentlichen Integrals.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Man untersucht die Stellen, an denen \(f\) nicht definiert ist.

Comments

Vielen Dank. Könntest du dir vielleicht meine Kommentare zur Aufgabe ansehen? Ist dies Korrekt?