Nach wie vielen Jahren sind von einem kg Cäsium-137 noch 1 Gramm vorhanden?

Question

3. Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren

c. Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren von einem kg Cäsium-137 noch 1 Gramm vorhanden ist.

Answer 1

Zunächst die Zerfallsrate bestimmen:

500 = 1000 * ( 1 + p ) ³⁰

<=> 0,5 = ( 1 + p ) ³⁰

<=> 1 + p = ³⁰√ 0,5

<=> p = ³⁰√ ( 0,5 ) - 1 ≈ - 0,2284

Das ist die Zerfallsrate. Mit dieser kann man nun die Aufgabe lösen:

1 = 1000 * ( 1 + p ) ^t

<=> 1 / 1000 = (  ³⁰√ 0,5 ) ^t

<=>  log ( 1 / 1000 ) = t * log (  ³⁰√ 0,5 )

<=> t = log ( 1 / 1000 ) / log (  ³⁰√ 0,5 )

<=> t ≈ 299 Jahre .

Comments

also wie würde ich diese Lösung verständlich als Aufgabe schreiben? 

Auf einem Aufgabenblatt :D 

Answer 2

 

nennen wir den "Zerfallsfaktor" x, so gilt nach

"Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren"

x³⁰ = 1/2

x = ³⁰√0,5 ≈ 0,9771599684

 

Also

f(t) = 0,9771599684^t

 

Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren von einem kg Cäsium-137 noch 1 Gramm vorhanden ist.

Ein Gramm ist 1/1000 eines kg, demnach

f(t) = 0,9771599684^t = 1/1000 | ln(0,001)/ln(0,9771599684)

t ≈ 298,9735280864

 

Probe

f(30) = 0,9771599684³⁰ ≈ 0,5

f(298,9735280864) = 0,9771599684^{298,9735280864} ≈ 0,001

 

Nach knapp 299 Jahren ist nur noch 1 Gramm vorhanden.

 

Besten Gruß