(-a)^-1 = -(a^-1) aus den Körperaxiomen beweisen

Question

Aufgabe: (-a)^-1 = -(a^-1) aus den Körperaxiomen beweisen

Hallo, kann mir jemand bitte weiterhelfen, wie ich den Term aus den Körperaxiomen (und allgemeinen Bruchregeln) herleiten kann. Ich verstehe das leider gar nicht.

Answer 1

\(b=(-a)^{-1}\iff (-a)b=1\iff a(-b)=1\iff \)

\(-b=a^{-1}\iff b=-(a^{-1})\),

also \((-a)^{-1}=b=-(a^{-1})\).

Answer 2

Wenn ihr schon was bewiesen habt wie (-x)*(-y) = x*y # .

dann ist es einfach; denn (-a)^-1 ist ja das Körperelement,

das mit -a multiplizier 1 ergibt.

Also musst du nur testen, ob -(a^-1) * (-a) = 1 gilt.

Und wegen # gilt  -(a^-1) * (-a) = (a^-1) * (a) = 1

nach Def. von a^-1.

Und falls ihr # noch nicht bewiesen habt, kannst das von

 -x = (-1)*x ausgehend leicht zeigen .

Und   -x = (-1)*x kannst du so zeigen :

-x ist ja das Element, das zu x addiert 0 ergibt, Also

x+(-1)*x = 1*x+(-1)*x = (1 + (-1))*x = 0*x = 0