Wirkung eines Medikamentes/ Exponentialfunktion

Question

ein Patient nimmt ein Medikament gegen eine Virusinfektion ein.

Der Patient gilt as genesen, wenn die Virenkonzentration auf 1% oder weniger des Ausgandswertes (40000Viren/ml) gesunken ist.

nach 5 Tagen sind noch 8000Viren/ml im Blut

1. gilt er nach 14Tagen als genesen? wenn nicht, wie lange dauert es, bis er genesen ist?

2. Wie hoch müsste die Konzentration nach 5T maximal sein, damit er nach 14T genesen ist?

also ich habe damit angefangen, 1% aus 40.000 auszurechnen

bin auf 400 gekommen

dann habe ich mir eine exponentielle Gleichung aufgestellt, mithilfe von (0|40000) und (5|8000)

bin auf f(t)=40.000* 0.72^t gekommen

f(14)=441.51 also noch nicht genesen

jz müsste ich gucken, wann die Konzentration 400 (oder weniger) beträgt
400=40000*0,72^t
0.72^t= 400/40000 
also 0.72^t= 1/100
log0.72(1/100) = 14

Problem: ich komme so auf t=14, was ja nicht sein kann...

bei der 2. weiß ich leider nicht, wie ich vorgehen soll

ich müsste die Funktion so aufstellen, dass f(14)<=400(wegen 1%)

aber dann würde ich a*0.72^14 <= 400 haben, und so würd ich ja berechnen, wie groß der Anfangswert sein müsste, und nicht der max. Wert nach 5Tagen… ich weiß nicht, wie ich das machen soll

Hoffe, dass mir jemand helfen kann

Danke!

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Nach \(5\) Tagen ist die Viruslast von \(40\,000\) auf ein Fünftel, also \(8\,000\) gefallen:$$V(t)=40\,000\cdot\left(\frac15\right)^{\frac t5}$$Nach \(t=14\) Tagen beträgt die Viruslast:$$V(14)=40\,000\cdot\left(\frac15\right)^{\frac {14}5}\approx442>400$$Nach \(14\) Tagen sind noch mehr als \(1\%\) der ursprünglichen Viren im Blut, der Patient gilt daher immer noch als krank. Aber es dauert nicht mehr lange, dann ist er geheilt:

$$\left.V(t)=40\,000\cdot\left(\frac15\right)^{\frac t5}=400\quad\right|\colon40\,000$$$$\left.\left(\frac15\right)^{\frac t5}=\frac{1}{100}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.5^{\frac t5}=100\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\frac t5\ln(5)=\ln(100)\quad\right|\cdot\frac{5}{\ln(5)}$$$$\left.t=\frac{5\ln(100)}{\ln(5)}\approx14,3068\quad\right.$$Der Patient muss also noch knapp \(0,3\cdot24\approx7,2\) Stunden warten, bevor er wirklich als gesund gilt.

zu 2) Damit er nach \(14\) Tagen als genesen gilt, muss die Konzentration nach \(14\) Tagen auf \(400\) abgesunken sein. Das entspräche dem Verlauf:$$V_2(t)=40\,000\cdot\left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{t}{14}}$$Nach \(5\) Tagen wäre die Virenlast dann bereits auf \(V_2(5)\approx7722\) gesunken.

Comments

ok dann habe ich bei der 1 wahrscheinlich einfach falsch gerundet...danke!:) 
ich verstehe aber bei der 2 nicht, warum t/14, vielleicht können Sie mir das auch erklären?würde gerne für künftigen Aufgaben wissen, wie man auf sowas kommt

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Bei Aufgabenteil 2) muss die Konzentration nach \(t=14\) Tagen auf \(\frac1{100}\) gefallen sein. Das führt zu dem Faktor \(\left(\frac1{100}\right)^{t/14}\) für den Exponentiellen Abbau der Viruslast.