Punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen von:

1. f_n:[0,inf[ →ℝ, f_n(x):= xe^-nx

2. g_n:[0,inf[ →ℝ, g_n(x):= nxe^-nx

Comments

Der Punktweise Limes von beiden Funktionsfolgen ist 0. Siehst du das? Exponential schlägt Polynome.

Wenn Sie gleichmäßig konvergieren, dann gegen denselben Grenzwerte wie bei der punktweisen Konvergenz

Du suchst jetzt also für alle ε>0 ein Index N, s.d. für alle n≥N und alle x im Defbereich gilt

| fn(x) - 0 | = | fn(x) | < ε

Berechne zB Sup/Inf bzw Max/Min von fn.

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Hei ja ich sehe dass e im Nenner ist und gegen unendlich läuft und damit der Limes 0 sein muss, verstehe aber nicht ganz wie ich das formal aufschreiben soll, dass es richtig begründet aussieht.

habe

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) f_n(x) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{x}{e^{nx}} \) = 0

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Ja. Ist doch notationstechnisch iO. Und jetzt das =0 noch begründen. Z.B. mit l'Hospital

Answer 1

hallo

man muss natürlich die Definition von e^x benutzen das ist am einfachsten durch die Reihe.

Gruß lul