Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einer Packung mit 16 Kugeln mindestens drei Kugeln, die fehlerhaft …

Question

Aufgabe:

Bernoulli Experiment:

Bei einer Produktion von Kugeln als Schmuck gibt es einen Ausschussanteil von 2%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einer Packung mit 16 Kugeln mindestens drei Kugeln, die fehlerhaft sind ?

1. Definiere dir Zufallsvariable X.

2. rechne mit Hilfe der Bernoulli Formel

Answer 1

Aloha :)

$$X\coloneqq\text{Anzahl defekter Kugeln pro Packung}$$

Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(X\ge3)\), mindestens \(3\) defekte Kugeln in einer Packung zu finden, benutzen wir das Gegenereignis, subtrahieren also von der Gesamt-Wahrscheinlichkeit \(1\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X\le2)\) höchstens \(2\) defekte Kugeln zu finden:

$$P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)$$$$\phantom{P(X\ge3)}=1-\binom{16}{0}\cdot0,02^0\cdot0,98^{16}-\binom{16}{1}\cdot0,02^1\cdot0,98^{15}-\binom{16}{2}\cdot0,02^2\cdot0,98^{14}$$$$\phantom{P(X\ge3)}=1-0,98^{16}-16\cdot0,02\cdot0,98^{15}-\frac{16\cdot15}{2}\cdot0,02^4\cdot0,98^{14}$$$$\phantom{P(X\ge3)}\approx0,03984570\approx3,98\%$$

Answer 2

1. Zufallsvariable X= Anzahl der defekten Kugeln-

2.Bernoulli Formel: \( \begin{pmatrix} 16\\x \end{pmatrix} \)·0,02^x·0,98^16-x.

Löse für x≥3.

Answer 3

1. Definiere dir Zufallsvariable X.

X: Anzahl fehlerhafter Kugeln

2.

P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) = 1 - ∑ (x = 0 bis 2) ((16 über x)·0.02^x·0.98^(16 - x)) = 0.0037