Grenzwert mit Konstante - l'Hospital

Question

Der folgende Grenzwert ist mit der Regel von l'Hospital zu berechnen:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5 x}{\ln \left(1+e^{x}\right)} \)

Bekomme, nach erster Ableitung von Zähler und Nenner folgendes raus:

(5) / (e^x / 1+e^x)
Der Nenner geht ja immer noch gegen unendlich, sogar exponentiell.
l'Hospital kann man auch nicht mehr anwenden, da der Zähler eine Konstante erhält. Somit müsste der Grenzwert doch 0 sein, da durch unendlich geteilt wird - aber laut Löung kommt hier die 5 raus.
Woran liegt das? Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Krankenhaus-Regel immer anwenden, wenn Zähler und Nenner gegen denselben Grenzwert konvergieren (bzw. gegen \(\infty\) gehen). Für \(x\to\infty\) gehen Zähler und Nenner gegen \(\infty\). Du kannst hier also Zähler und Nenner unabhängig voneinander nach \(x\) ableiten:

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5x}{\ln\left(1+e^x\right)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5}{\underbrace{\frac{1}{1+e^x}}_{\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{e^x}_{\text{innere A.}}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{5+5e^x}{e^x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{5}{e^x}+5\right)=5$$

Comments

Danke für die gute Antwort!

Auf den Term mit 5+5e^x ... kommt man durch erweitern im Zähler und Nenner mit (1+e^x)?

Aber wäre in deinem letzten Term dann unendlich plus 5 nicht auch unendlich? Oder hast du bei der 5/e^x noch das e^x im Zähler vergessen?

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Ja genau, du erweiterst mit \((5+5e^x)\).

Im letzten Schritt wird die Exponentialfunktion unendlich groß. Wenn der Nenner unendlich groß wird, der Zähler aber konstant bleibt, geht der Bruch gegen \(0\). Ich schreibe das mal symbolisch:$$\frac{5}{e^x}\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\frac{5}{e^{\infty}}=\frac{5}{\infty}=0$$

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Danke, jetzt hab ichs!

Answer 2

Ich denke, es liegt daran , dass der Nenner gegen 1 konvergiert, denn

e^x/(1+e^x)=

1/((1/e^x)+1)= Nun soll x gegen unendlich gehen

dann ist der Nenner 1/(0+1)=1/1=1

Somit konvergiert der Bruch gegen 5

Answer 3

\( \frac{5 \cdot \infty }{\infty } = 5\)

Comments

\( \frac{5 \cdot \infty }{\infty } = 5\)

Du kannst dich noch retten, wenn du sagst, dass das nur ein Scherz war.