Würfelspiel wer gewinnt

Question

Aufgabe:

gegeben 4 Würfel mit Augenzahlen:

004444, 333333, 222266, 111555

Spieler A und B spielen folgendes Spiel: Spieler A wählt einen Würfel, dann Spieler B, wer die höhere Augenzahl würfelt gewinnt.

Zeige: Bei geeigneter Wahl des Würfels durch Spieler B gewinnt dieser mit einer WK von 2/3.

Problem/Ansatz:

Angenommen A wählt 004444 und B wählt 111555:

gilt dann: 1/3*1 + 2/3*1/2 = 2/3 ?

Answer 1

gilt dann: 1/3*1 + 2/3*1/2 = 2/3 ?

Ja, das gilt, wie man leicht mit Bruchrechenregeln ausrechnen kann.

Problem ist nur, das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B bei der von dir angenommen Wahl der Würfel gewinnt.

Stattdessen gewinnt B bei der von dir angenommen Wahl der Würfel mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\).

Answer 2

Das sind intransitive Würfel

https://de.wikipedia.org/wiki/Intransitive_W%C3%BCrfel#Efrons_W%C3%BCrfel

Es gibt zu jedem Würfel einen anderen, der ihn mit der Wahrscheinlichkeit von 2/3 besiegt.

W1 = (4,4,4,4,0,0)
W2 = (3,3,3,3,3,3)
W3 = (6,6,2,2,2,2)
W4 = (5,5,5,1,1,1)

P(W1 > W2) = 24/36 = 2/3
P(W1 > W3) = 16/36 = 4/9
P(W1 > W4) = 12/36 = 1/3
P(W2 > W3) = 24/36 = 2/3
P(W2 > W4) = 18/36 = 1/2
P(W3 > W4) = 24/36 = 2/3