Injektivität f: K -> L ohne Voraussetzung

Question

Hallo :)

Ist es möglich diese Frage wieder zur Diskussion zur stellen? Die Frage ist nämlich schon alt, aber es ist keine Antwort bei raus gekommen, die mir weiterhilft. Und jetzt wollte ich die Frage ungern wiederholen.

https://www.mathelounge.de/775843/korperhomomorphismus-z-z-f-ist-injektiv-beweis

Ich hab meine Frage als Kommentar in dem Link aufgeschrieben. Ich bedanke mich schon mal :)

Answer 1

Der Kern eines Ringhomomorphismus ist ein Ideal. Ein Körper K besitzt aber nur

zwei Ideale nämlich (0) und K. Wegen f(1)=1 ist f nicht der Nullhomomorphismus,

also der Kern nicht ganz K und somit (0). Ein Ringhomomorphismus ist nun

genau dann injektiv, wenn sein Kern = (0) ist.

Comments

Danke :)

Wenn ich schreibe: f: K -> L für alle a,b Element R

a,b aus K mit f(a) = f(b) , also f(a)-f(b)=0

Körperhom.: f(a-b)=0

a-b=0

also a=b

Da a=b ist, ist f injektiv.

ist die Aufgabe dann erfüllt?

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Ja, dann bist du durch :-)

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Da bin ich aber froh. Dankeschön :)

Answer 2

In einem Körper ist immer 0≠1, denn es muss ja

K\{0} eine multiplikative Gruppe mit neutralem El.

1 sein, also ist 1 ≠ 0.

Comments

Danke für die Antwort :)

Ist es auch immer so, dass für jeden Körperhom. f(x)=0 gilt?