N-te Wurzel und Zinssatz

Question

Aufgabe:

Erik überlegt, ob er in 8 Jahren sein Sparguthaben von 850€ verdoppeln kann, wenn er es zu einem festen Zinssatz anlegt.

Frage:

Wie hoch müsste der Zinssatz sein? Berechne ihn nährungsweise.

Problem/Ansatz:

Muss man dann die 8-te wurzel aus 850 ^2 berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Näherungsweise funktioniert das am schnellsten mit der "72er-Regel". Sie besagt, dass das Produkt aus Verdopplungszeit und Zinssatz etwa \(72\) ist. Demnach wären hier \(\frac{72}{8}=9\) Prozent Zinsen nötig.

Da BWL-er diese Regel aber normalerweise nicht kennen, kannst du formal so rechnen:$$\left.2\cdot\text{Kapital}=\text{Kapital}\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^8\quad\right|\colon\text{Kapital}$$$$\left.2=\left(1+\frac{p}{100}\right)^8\quad\right|\left(\cdots\right)^{\frac18}$$$$\left.2^{\frac18}=1+\frac{p}{100}\quad\right|-1$$$$\left.2^{\frac18}-1=\frac{p}{100}\quad\right|\cdot100$$$$p=100\cdot\left(2^{\frac18}-1\right)=9,0508\%$$

Die Höhe des Grundkapitals ist für die Frage der Vedopplung offenbar völlig unwichtig. Jedes Kapital hat sich bei \(9\%\) Zinsen nach \(8\) Jahren verdoppelt.

Answer 2

Sparguthaben von 850€ ... zu einem festen Zinssatz anlegt.

Zinssatz ist \(p\%\).

Wachstumsfaktor ist dann \(q = 1 + \frac{p}{100}\).

Guthaben nach 8 Jahren ist \(850\cdot q^8\)

ob er ... sein Sparguthaben ... verdoppeln kann,

Das doppelte von 850 ist 1700. Löse also die Gleichung

        \(850\cdot q^8 = 1700\).

Auf dem Lösungsweg wird auch irgendwann einmal die 8te Wurzel verwendet.

Answer 3

K*q^8 = 2K

q^8 = 2

q= 2^(1/8) = 1,0905

i= q-1 = 0,0905 = 9,05%

Der Zinssatz ist unabhängig vom Kapital.

q= Zinsfaktor, i = Zinssatz p.a.

Answer 4

Muss man dann die 8-te wurzel aus 850 ² berechnen?

Nein, sondern die von 2.