Wer ist hier schuldig? Logik

Question

Aufgabe: Nach einem Mordfall gibt es 3 Verdächtige A, B und C, von denen zumindest einer der Täter sein muss.

Nachdem alle Zeugen getrennt vernommen wurden, kennen die Ermittler folgende Fakten:

Wenn A Täter ist, dann müssen B oder C ebenfalls Täter sein.
Wenn C Täter ist, dann ist A unschuldig.
B und C sind entweder beide schuldig oder unschuldig.
Wer ist hier schuldig?

1) A


2) B


3) C

Answer 1

"Wenn C Täter ist, dann ist A unschuldig." ist äquivalent zu "Wenn A schuldig ist, ist C kein Täter."

Zusammen mit "Wenn A Täter ist, dann müssen B oder C ebenfalls Täter sein." folgt dann, dass "Wenn A Täter ist, ist B Täter und C kein Täter."

Da aber "B und C sind entweder beide schuldig oder unschuldig." ist A sicher unschuldig!

Da mindestens einer der drei schuldig sein muss und A es nicht ist folgt aus "B und C sind entweder beide schuldig oder unschuldig." , dass genau B und C die Täter sind!

Answer 2

Aloha :)

Wir übersetzen die Fakten in mathematische Ausdrücke:

(0) Mindestens einer der 3 Verdächtigen ist Täter:\(\quad A\lor B\lor C=1\)

(1) Wenn A Täter ist, dann müssen B oder C ebenfalls Täter sein:\(\quad A\implies B\lor C\)

(2) Wenn C Täter ist, dann ist A unschuldig: \(\quad C\implies\overline A\)

(3) B und C sind entweder beide schuldig oder unschuldig: \(\quad B\Longleftrightarrow C\)

Wir fangen vorne mit \(A\) an und nehmen an, er wäre schuldig:$$A\stackrel{(1)}{\implies}B\lor C\equiv\left\{\begin{array}{l}C\stackrel{(2)}{\implies}\overline A\\B\stackrel{(3)}{\implies}C\stackrel{(2)}{\implies}\overline A\end{array}\right.$$In beiden Fällen führt die Annahme, dass \(A\) schuldig ist, zu dem Widerspruch, dass \(A\) nicht schuldig ist. Damit sind wir sicher, dass \(A\) unschuldig ist.

Da nach (0) mindestens einer der Täter sein muss, müssen also \(B\) oder \(C\) schuldig sein. Nach (3) sind aber beide schuldig oder beide unschuldig. Also müssen beide schuldig sein.

\(B\) und \(C\) sind die Täter.