z^2=z‾ beweisen, komplexe Zahlen

Question

ich muss Folgendes zeigen:

z²=z‾

Mein Ansatz:

(x+iy)(x+iy)=x-iy

Das habe ich weiterbearbeitet und komme auf

x²+2xiy-y²=x-iy

Dann habe ich x²-y²=x und 2xiy=-iy

Aber beide Ausdrücke sind ja nicht gleich und ich muss ja z‾=z² zeigen

Answer 1

Hallo,

x^2+2xiy-y^2=x-iy , das stimmt

Vergleiche nun Realteil und Imaginärteil auf beiden Seiten:

--->

1) x=x^2-y^2

2) -y=2xy

-----------------------

2') -y=2xy

-y-2xy=0

y(-1-2x)=0----->Satz vom Nullprodukt:

y1=0 und x1= -1/2

y1 eingesetzt in 1):

x=x^2

0=x^2-x

0=x(x-1)

x₂=0

x₃=1

x1 eingesetzt in 1):

-1/2= (-1/2)^2 -y^2

-1/2= 1/4 -y^2
3/4=y^2

y2.3=±(√3)/2

Zusammengefasst:

x = -1/2, y = -(√3)/2

x = -1/2, y = (√3)/2

x = 0, y = 0

x = 1, y = 0

Comments

Okay, ich habe es selber nochmal nachgerechnet und bekomme die gleichen Werte raus. Muss ich jetzt alle Paare jeweils einsetzen,um dann zu zeigen, dass die Aussage gilt?

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Muss ich jetzt alle Paare jeweils einsetzen, um dann zu zeigen, dass die Aussage gilt? ---->Ja,

Answer 2

Es ist \(|\bar{z}|=|z|\), wegen der Multiplikativität des Betrages gilt dann

\(|z|^2=|z^2|=|\bar{z}|=|z|\), also im Falle \(z\neq 0\): \(|z|=1\).

Ferner haben wir \(z^3=z\cdot z^2=z\cdot \bar{z}=|z|^2=1\).

\(z\neq 0\) ist also eine der drei 3-ten Einheitswurzeln:

\(\{z:\; z^2=\bar{z}\}=\{0,\;1,\;\frac{ -1-i\sqrt{3}}{2},\;\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\}\).