Beweis mit quadratischer Ergänzung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussage
Für alle x, y ∈ R gilt, dass x^2+ xy + y^2 ≥ 0

Problem/Ansatz:

Answer 1

x^2 + x·y + (y/2)^2 - (y/2)^2 ≥ - y^2

(x + y/2)^2 ≥ - 3/4·y^2

Da (x+y/2)^2 ≥ 0 ≥ - (3/4)y^2 gilt, ist das offensichtlich erfüllt.

Comments

Ich habe mir erlaubt die Kommentare zu löschen und die Antwort anzupassen.

---

Finde ich nicht gut.
Kommentare und Antworten von anderen
sollte man generell stehen lassen.

Answer 2

x^2+ xy + y^2 ≥ 0

<=> x^2+ 2xy + y^2 ≥  xy

<=> (x+y)*(x+y)  ≥  xy

Wenn einer der beiden ( x oder y) 0 ist ,

steht links ein Quadrat und rechts 0, das stimmt

ja immer. Wenn beide verschiedene Vorzeichen haben,

steht rechts was Negatives, also stimmt es auch.

Beide positives  Vorzeichen, dann gilt

                       x+y > y  multipliziert mit dem positiven y

                   xy + y^2 > xy

und wenn links noch das positive y^2 dazu kommt, stimmt es erst recht.

               y^2 +     xy + y^2 > xy

Beide negatives VZ:

                 x+y <    y    multipliziert mit dem negativen y
                                       (mit Umdrehen des <  )

                xy + y^2 > xy

und wenn links noch das positive y^2 dazu kommt, stimmt es erst recht.
              y^2 +    xy + y^2 > xy

Answer 3

Warum sollte man das mit quadratischer Ergänzung machen,

wenn man doch weiß, dass Summen von reellen Quadraten \(\geq 0\) sind?

\(x^2+xy +y^2=1/2(x^2+y^2+(x+y)^2)\geq 0\)

Comments

Warum sollte man das mit quadratischer Ergänzung machen,

Weil es in der Aufgabe so steht.

---

Das war in

https://www.mathelounge.de/879645/beweis-lineare-algebra?show=879901

nur ein Hinweis. Wenn man eine bessere Methode hat, sollte

man sie auch ohne Rücksicht auf den Hinweis verwenden dürfen.

Ich sehe nicht, dass die vom Fragesteller gewählte Überschrift

dasselbe ist wie die dann hier gepostete Aufgabe

"Aufgabe:
Beweisen Sie die folgenden Aussage
Für alle x, y ∈ R gilt, dass x²+ xy + y² ≥ 0"

---

Jedermann kann hier Fragen stellen.
Jedermann kann hier Antworten geben
Deine Antwort ist klasse.
Wenngleich auch auf höherem Niveau
als die Standardantwort.
Da kommt nicht jeder drauf.

Ich will dich auch nicht bevormunden.

Trotzdem bleibt es bei

Warum sollte man das mit quadratischer Ergänzung machen,
Weil es in der Aufgabe so steht und damit
dem Wunsch des Fragestellers
entsprochen wird.

Genug disputiert.
Gute Nacht.

---

Auch dir eine gute Nacht :-)