a) Wenn es in V eine unendlich aufsteigende Kette U0 ⊂ U1 ⊂ U2 ⊂ ... ⊂ V von Unterräumen gibt, dann gibt es für jede natürliche Zahl n einen Unterraum Un in dieser Kette, der mindestens n+1 Elemente enthält. Da die Kette unendlich ist, gibt es also unendlich viele Unterräume von V, die unendlich viele Elemente enthalten. Daher ist V unendlich-dimensional.
b) Um zu zeigen, dass V genau dann n-dimensional ist, wenn die längste Kette von Unterräumen von V genau n+1 Elemente hat, werden wir zunächst zeigen, dass es genau dann eine n-elementige linear unabhängige Menge in V gibt, wenn es eine (n+1)-elementige Kette von Unterräumen von V gibt.
Wenn es eine (n+1)-elementige Kette von Unterräumen U0 ⊆ U1 ⊆ ... ⊆ Un ⊆ V von V gibt, können wir eine n-elementige Menge von V als die ersten n Elemente jeder Unterraum Ui in dieser Kette auswählen. Diese Menge ist linear unabhängig, da jedes Element aus einem anderen Unterraum Ui stammt und daher nicht durch Linearkombinationen der anderen Elemente dargestellt werden kann.
Daher, wenn es eine (n+1)-elementige Kette von Unterräumen von V gibt, gibt es auch eine n-elementige linear unabhängige Menge in V. Umgekehrt, wenn es eine n-elementige linear unabhängige Menge in V gibt, kann man diese Menge als die ersten n Elementen einer (n+1)-elementigen Kette von Unterräumen von V ansehen, die jedes Element dieser Menge in einzelnen Unterräumen enthält.
Daher ist V genau dann n-dimensional, wenn die längste Kette von Unterräumen von V genau n+1 Elemente hat.
