Komische Funktion auf Bijektivität prüfen

Question

Hallo Leute,

Ich muss die folgende Funktion auf Bijektivität überprüfen. Ich weiß nicht, wie ich das machen soll. Da ist doch keine Funktion. Dort sind zwei Zeilen? Kann mir jemand anhand von Rechenschritten zeigen, wie das funktioniert:

$$ f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}, \\ f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2} \quad \text{Wenn x gerade} \\ -\frac{(x+1)}{2} \quad \text{Wenn x ungerade} \end{cases}$$

Comments

\(f\) ordnet jeder natürlichen Zahl auf eindeutige Weise

eine ganze Zahl zu, also ist es eine Funktion von N nach Z.

Answer 1

\(f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2} & \text{Wenn x gerade} \\ -\frac{(x+1)}{2} & \text{Wenn x ungerade} \end{cases}\)

Das nennt man eine abschnittsweise definierte Funktion.

Ein paar Beispiele wie man die behandelt:

1. Die Zahl \(7\) ist eine ungerade Zahl. Also ist

           \(f(7) = -\frac{(7+1)}{2}\)

2. Die Zahl \(8\) ist eine gerade Zahl. Also ist

           \(f(8) = \frac{8}{2}\)

Answer 2

Durch die beiden Zeilen wird doch eine Funktion definiert.

Es ist f(x)=x/2 wenn x eine gerade Zahl ist, also

z.B. f(2)=1  f(4)=2  f(0)=0   f(6)=3 etc.

und für ungerades x ist f(x)=- (x+1)/2 , also

f(1)= -1  f(3)=-2 f(5)=-3 etc.

Um zu zeigen, dass f bijektiv ist,, musst du zeigen, dass f injektiv und surjektiv ist.

injektiv:  Seien also a und b aus N mit f(a)=f(b).

Also sind f(a) und f(b) entweder beide = 0 oder beide

haben das gleiche Vorzeichen.

1. Fall :  beide positiv würde bedeuten, dass bei beiden die obere Zeile der

Funktionsvorschrift angewandt wurde, denn  -(x+1)/2 wird für x∈ℕ

niemals positiv. somit wäre f(a)= a/2 und f(b)=b/2 , also a/2 = b/2

und deshalb auch a=b.

2. Fall: beide =0 kann wie beim ersten Fall auch nur durch die obere Zeile

bei beiden entstanden sein, also a/2=0 und b/2 = 0, also a=b=0.

3. Fall: beide negativ. Negative Werte können (wegen x∈ℕ nur durch die untere

Zeile entstanden sein. Also waren a und b beide ungerade und

-(a+1)/2 = -(b+1)/

==>  -a-1 = -b-1

==>   -a = -b

==>    a =b .

In allen Fällen folgt aus f(a)=f(b) also a=b , somit ist f injektiv.

surjektiv:  Sei y∈ℤ. Zu zeigen ist: Es gibt x∈ℕ mit f(x)=y.

1. Fall y<0. ==>   y≤-1     | *(-2)

            ==>     -2y ≥  2

==>    -2y  -1  ≥  1   

==>   -2y-1 ∈ℕ   und    -2y-1 ungerade

==>  f(-2y-1) =  - ((-2y-1)+1)/2 = - (-2y/2) = y .

Also ist x=-2y-1 ein Wert, dessen Funktionswert y ist.

2. Fall y≥0   ==>   2y ≥0  .

Also ist 2y ∈ℕ und gerade .

==>  f(2y) =  2y/2 = y . Somit gibt es auch in diesem Fall ein x,

nämlich x=2y, dessen Funktionswert y ist.

Also ist f surjektiv.