De Morgansche Regel - Aufgabe

Question

Mit Hilfe der De Morganschen Regeln kann man jede mit den logischen Verknüpfungen ∧, ∨ und ¬ gebildete Aussage in eine nur aus ∧ und ¬ gebildete Aussage,

beziehungsweise in eine nur aus ∨ und ¬ gebildete Aussage umformen.
Bringen Sie die folgenden Aussagen in jeweils beide Formen:

(i) A ∧ B ∨ (¬C ∨ A ∧ D) ∨ ¬(B ∨ C)
(ii) C ∨ B ∨ ¬(C ∨ B ∧ A) ∧ ¬(A ∧ ¬(B ∨ C))

Könnte mir jemand eventuell erklären was genau ich hier machen soll, habe die Aufgabenstellung nicht verstanden und weiß nicht was ich jetzt genau machen soll.

Dankeschön

Answer 1

mit der De Morgan Regel kannst du ja einen Term mit ¬ und ∧

in einen mit ¬ und ∨ umwandeln; denn die eine heißt ja z.B.

¬ (a ∧ b) =  ¬ a  ∨  ¬ b.

Wenn du einen größeren Term damit umformen willst, könnte das

(z.B. bei dem ersten, wenn du nur noch ¬ und ∧ haben willst) so

aussehen:  A ∧ B ∨ (¬C ∨ A ∧ D) ∨ ¬(B ∨ C)

Du negierst den Term doppelt (da bleibt der Wahrheitswert ja gleich)

=  ¬¬ (A ∧ B ∨ (¬C ∨ A ∧ D) ∨ ¬(B ∨ C))

und löst ein ¬ mit De Morgan auf

=  ¬ (¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬C ∨ (A ∧ D)) ∧¬¬(B ∨ C))

In der Mitte das ¬(¬C ∨ (A ∧ D)) löst du auf zu

                 (¬¬C ∧ ¬(A ∧ D))  und hast dann

=  ¬ (¬(A ∧ B) ∧    (¬¬C ∧ ¬(A ∧ D))   ∧¬¬(B ∨ C))

jetzt ist nur noch hinten ein ∨ und da nimmst du wieder

De Morgan und erhältst

=  ¬ (¬(A ∧ B) ∧    (¬¬C ∧ ¬(A ∧ D))  ∧¬(¬B ∧ ¬C))

und so sind alle ∨ weg.

Wenn du die ∧ wegbekommen willst, machst du es

so ähnlich.

(A ∧ B) ∨ (¬C ∨ A ∧ D) ∨ ¬(B ∨ C)

Hier ist ja schon fast alles ok, nur der erste Teil nicht.

Dann machst du nur bei dem eine doppelte Negation

¬¬(A ∧ B) ∨ (¬C ∨ A ∧ D) ∨ ¬(B ∨ C)

und löst die innere auf

¬(¬A ∨¬B) ∨ (¬C ∨ A ∧ D) ∨ ¬(B ∨ C)

und in der mittleren Klammer (Das A∧D steht ja

eigentlich auch in Klammern denn ∧ bindet stärker als ∨.)

machst du eine doppelte Negation des UND-Teils.

¬(¬A ∨¬B) ∨ (¬C ∨ ¬¬(A ∧ D)) ∨ ¬(B ∨ C)

und die innere Negation auflösen gibt

¬(¬A ∨¬B) ∨ (¬C ∨ ¬(¬A ∨¬D)) ∨ ¬(B ∨ C)

Bingo !