Lineare Algebra: Mengen "zeigen"

Question

Aufgabe:

10. Es sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung zwischen zwei Mengen \( X \) und \( Y \). Zeigen Sie:
(a) Ist \( M_{1} \subset M_{2} \subset X \), so folgt \( f\left(M_{1}\right) \subset f\left(M_{2}\right) \).
(b) Ist \( N_{1} \subset N_{2} \subset Y \), so folgt \( f^{-1}\left(N_{1}\right) \subset f^{-1}\left(N_{2}\right) \).
(c) \( M \subset f^{-1}(f(M)) \) für \( M \subset X \) und \( f\left(f^{-1}(N)\right) \subset N \) für \( N \subset Y \).
(d) Für \( M_{1}, M_{2} \subset X \) und \( N_{1}, N_{2} \subset Y \) gilt:
\( \begin{aligned} f^{-1}\left(N_{1} \cap N_{2}\right) &=f^{-1}\left(N_{1}\right) \cap f^{-1}\left(N_{2}\right), & f^{-1}\left(N_{1} \cup N_{2}\right) &=f^{-1}\left(N_{1}\right) \cap f^{-1}\left(N_{2}\right) \\ f\left(M_{1} \cup M_{2}\right) &=f\left(M_{1}\right) \cup f\left(M_{2}\right), & f\left(M_{1} \cap M_{2}\right) & \subset f\left(M_{1}\right) \cap f\left(M_{2}\right) \end{aligned} \)
Finden Sie außerdem ein Beispiel, in dem \( f\left(M_{1} \cap M_{2}\right) \neq f\left(M_{1}\right) \cap f\left(M_{2}\right) \) gilt.

…

Problem/Ansatz:

Guten Mittag zusammen, ich bräuchte hier einmal dringen Hilfe bei einer Aufgabe. Es fällt mir relativ schwer da was raus zu bekommen und ich blick es einfach nicht richtig. Wäre klasse wenn mir hier jemand helfen könnte. Am besten mit Rechenweg zum besser nachzuvollziehenn.

Answer 1

z.B. a)  "Zeigen" heißt: Beweisen, dass die Aussage wahr ist.

Hier ist das in Worten:

Wenn M1 eine Teilmenge von M2 ist, dann ist auch f(M1) eine Teilmenge

von f(M2).

Dann fängst du am besten bei solchen wenn ... dann Aussagen immer so an

Sei M1 ⊂ M2 . Und überlegst dann wie man f(M1) ⊂ f(M2) unter dieser

Voraussetzung begründen kann. Da das eine Teilmengenaussage ist,

geht das eigentlich immer so:

Sei a aus der ersten Menge, dann muss es auch in der zweiten sein.

Also fängst du weiter an mit:   Sei a ∈ f(M1).

und überlegst, was das bedeutet:

Es gibt ein x∈M1 mit f(x) = a .

Wegen x∈M1 und M1 ⊂ M2 gilt auch x ∈ M2.

Dann ist aber f(x)  ∈ f(M2)  und weil ja f(x)=a ist, gilt somit

                    a ∈ f(M2).

Damit hast du     a ∈ f(M1) ==>   a ∈ f(M2) gezeigt, und

das bedeutet:    f(M1) ⊂ f(M2)            q.e.d.