Für n=2 ist die erste Aussage falsch. Oder stand da vielleicht ≤
Mit ≤ klappt es. Für n=2 steht halt = da, also gilt auch ≤.
Wenn es nun für ein n ≥ 2 gilt # , dann hat man
\( \sum \limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k^2}=\sum \limits_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2} \)
Also wegen # \( \frac{3}{4}-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2} =\frac{3}{4}-(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)^2})=\frac{3}{4}-\frac{(n+1)^2 -n }{n(n+1)^2}\)
\( =\frac{3}{4}-\frac{n^2 +n+1}{n(n+1)^2} =\frac{3}{4}-\frac{n^2 +n+1}{n^2+n}\cdot \frac{1}{n+1} \)
Nun ist aber \(\frac{n^2 +n+1}{n^2+n}\) immer größer als , damit wird von den 3/4
etwas mehr subtrahiert als 1/(n+1) und somit ist das Ganze kleiner als
\( \frac{3}{4}- \frac{1}{n+1} \) q.e.d.
