Zeigen sie dass es mindestens eine Primzahl p gibt mit n<p<n!

Question

Sei

$$n\in N ,n \geq 3$$

Zeigen sie dass es mindestens eine Primzahl p gibt mit

$$n \lt p\lt n!$$

Betrachten sie die Primzahlzerlegung von n!-1. Schließen sie damit ,dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Comments

n! hat die Teiler 2, ..., n-1, n

n! - 1 hat diese Teiler somit nicht. Wenn nämlich d ∈ {2, ..., n} sowohl n! als auch n!-1 teilen würde, dann würde d auch ihre Different n! - (n! - 1) = 1 teilen. Und das geht offensichtlich nicht.

Nun hat aber jede natürliche Zahl eine Primzahl als Teiler (kann auch die Zahl selbst sein). Da 2, ..., n keine Teiler von n! - 1 sind muss der Primteiler > n sein, aber logischerweise auch ≤ n! - 1 < n!

Wie kannst du jetzt zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss?