Differentialgleichung lösen?

Question

Hallo, ich weiß nicht wie ich die folgende Aufgabe lösen kann:

Zeigen Sie, dass die Funktion u:(0,∞)² ⊂ R² → R mit u(x,y)=x⋅y+x⋅ln(yx) die Differentialgleichung x⋅u_x+y⋅u_y=x⋅y+u löst.

Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen kann, danke :)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Matheloune... \o/

Du brauchst eigentlich nur mit der Funktion$$u(x;y)=xy+x\,\ln(xy)$$die Differentialgleichung nachzurechnen:$$x\,u_x+y\,u_y=x\frac{\partial}{\partial x}\left(xy+x\,\ln(xy)\right)+y\frac{\partial}{\partial y}\left(xy+x\,\ln(xy)\right)$$$$\phantom{x\,u_x+y\,u_y}=x\left(y+1\cdot\ln(xy)+x\,\frac{1}{xy}y\right)+y\left(x+x\frac{1}{xy}\,x\right)$$$$\phantom{x\,u_x+y\,u_y}=x\left(y+\ln(xy)+1\right)+y\left(x+\frac{x}{y}\right)$$$$\phantom{x\,u_x+y\,u_y}=xy+x\ln(xy)+x+xy+x$$$$\phantom{x\,u_x+y\,u_y}=u(x;y)+xy+2x$$

Wir erhalten einen zusätzlichen Summanden \(2x\). Offensichtlich löst die Funktion \(u(x;y)\) die Differentialgleichung also nicht.

Comments

Ah perfekt, vielen Dank. Das leuchtet ein. :)