Ist f immer surjektiv wenn h surjektiv ist und ist g immer injektiv wenn h injektiv ist?

Question

Aufgabe:

Es gibt A,B,C beliebige Mengen und f : A → B, sowie g : B → C zwei beliebige Abbildungen. Sei ferner h : A →C, mit h(x) = g(f (x)).

Nun soll mal beweisen oder wiederlegen :
1)Wenn h injektiv ist, dann ist auch immer g injektiv.
2)Und auch wenn h surjektiv ist, dann ist f auch immer surjektiv.

Problem/Ansatz:

Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, wie man das lösen soll. (Lösungsweg ist kein muss aber Teile davon wären bestimmt hilfreich.)
Bei 1) bin ich mir nicht sicher aber würde behaupten, dass es nicht möglich ist. Warum? weil es 2 gleiche Zielmengen sind aber verschiedene Definitionsmengen. Also müsste doch Menge B und Menge A gleiche Elemente enthalten oder nicht.

Bei 2) hab ich keine Ahnung.

Vielen Dank.

Answer 1

f : A → B, sowie g : B → C   h(x) = g(f(x)).

Das passt: Mit x ∈ A wird ein f(x) ein Element B.

Und dieses f(x) wird mit g wird von B ein Bild wird g(f(x)) wird.

Für injektiv wird, wenn h wird auch injektiv, nämlich

Seien x,y ∈ A , dann wird h(x) = h(y)  (beide in C ) .

Und es sind   h(x) = g(f(x) = g(f(y)) =  h(y)

Da g injektiv sind  wird g(f(x) = g(f(y))

wird  f(x) =  f(y)  .

Wegen f injektiv wird also x = y .

Somit wird   h(x) = h(y)    ==>    x = y , also

h ist injektiv.

Comments

Danke für deine Antwort aber soweit ich verstanden hab, muss gezeigt werden, wenn h injektiv ist, ist g auch injektiv.

Also gehen wir ja eigentlich davon aus, dass wir wissen, dass h injektiv ist aber wir beweisen muss, dass g dann auch injektiv ist.

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Oha, da hätte ich besser mal sorgfältig gelesen.