8^n - 1 teilbar durch 7, geometrische Summenformel

Question

Aufgabe: Zu zeigen ist: 8^n - 1 ist teilbar durch 7. Beweis soll mit Hilfe der geometrischen Summenformel erfolgen.

Problem/Ansatz:

Ich konnte den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion erbringen, das war nicht schwer. Wie um alles in der Welt man die Teilbarkeit durch 7 mit Hilfe der geometrischen Summenformel erbringen soll, ist mir jedoch leider völlig schleierhaft. Ich komm einfach nicht drauf, was diese Formel mit der gegebenen Aufgabe zu tun hat und bräuchte daher Hilfe bzw. Gedankenanstöße zum Ansatz dieses Beweises.

Answer 1

Besagte Summenformel lautet: \(\displaystyle\sum_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\).

Insbesondere gilt für \(q=8\): \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}8^k=\frac{8^n-1}7\).

Links des Gleichheitszeichens steht offenbar eine natürliche Zahl, weshalb \(\frac{8^n-1}7\) ebenfalls eine solche sein muss.

Comments

Vielen Dank! Die Summenformel kannte ich natürlich, aber wieso ändert man für q = 8 dann den oberen Index in n-1? Ich meine, dass es so mehr Sinn macht, weil man dann quasi auf einen Blick die Teilbarkeit sieht, leuchtet mir schon ein, aber kann man das machen, dass man oben einfach n-1 schreibt, während man den unteren Index gleich lässt?? Das ist doch dann keine Indexverschiebung, oder?

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Die Summenformel gilt für alle natürlichen Zahlen n ≥ 0 und damit auch für n-1, falls n ≥ 1 ist. Eine Indexverschiebung ist das nicht, es gibt lediglich einen Summanden weniger.

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Ha! Danke! Da bin ich aber jetzt ordentlich auf der Leitung gestanden! Unfassbar, wie man manchmel ein Brett vorm Kopf haben kann.

Vielen herzlichen Dank nochmal!

Answer 2

Es gilt $$7 = 8 - 1$$ vielleicht hilft das schon.

Comments

Leider nicht, darauf bin ich schon gekommen, aber es hilft mir nicht weiter.