Geometrische Summenformel anwenden

Question

Aufgabe:

Beweise für alle x, y ∈ R mit x ≠ y und n ∈ N:

\( \frac{x^n - y^n}{x - y} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n - 1}{x^{n - 1- k} * y^k} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe, dass ich den Term umformen muss, um die Geometrische Summenformel zu nutzen, nur wie ich sie umformen muss verstehe ich nicht.

Comments

Klammere rechts den Faktor \(x^{n-1}\) aus und setze in der Summe \(q=y/x\). Beachte: \(x^{-k}y^k=q^k\).

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen die Behauptung$$\frac{x^n-y^n}{x-y}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}\cdot y^k\quad;\quad n\in\mathbb N$$mittels vollständiger Induktion.

Verankerung \(n=1\):$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}\cdot y^k=\sum\limits_{k=0}^{1-1}x^{1-1-k}\cdot y^k=1=\frac{x^1-y^1}{x-y}=\frac{x^n-y^n}{x-y}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$\sum\limits_{k=0}^{(n+1)-1}x^{(n+1)-1-k}\,y^k=\sum\limits_{k=0}^{n}x^{n-k}\,y^k=\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{n-k}\,y^k+x^{n-n}y^n=x\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}\,y^k+y^n$$Wir setzen die Behauptung als Induktionsvoraussetzung ein:$$\qquad=x\cdot\frac{x^n-y^n}{x-y}+y^n=\frac{x(x^n-y^n)}{x-y}+\frac{y^n(x-y)}{x-y}=\frac{x^{n+1}-xy^n+y^nx-y^{n+1}}{x-y}$$$$\qquad=\frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}\quad\checkmark$$

Answer 2

Wegen \(x\neq y\) sind \(x\) und \(y\) nicht beide \(=0\).

Sei etwa \(x\neq 0\), dann gilt mit \(q=y/x\) nach der Formel

für geometrische Summen:

\(\sum_{k=0}^{n-1}(y/x)^k=\frac{(y/x)^n-1}{(y/x)-1}\).

Multipliziere diese Gleichung mit \(x^{n-1}=\frac{x^n}{x}\), dann bekommst du

die behauptete Gleichung.

Der Fall \(y\neq 0\) geht natürlich genauso.