Kurze Frage zu Zahlenfolgen und Konvergenz

Question

Ist eine konvergente Zahlenfolge immer beschränkt, oder gibt es auch konvergente Zahlenf., die nicht beschränkt sind?

Answer 1

Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. Aber nicht jede beschränkte Zahlenfolge ist konvergent, z.B. $$a_n = (-1)^n$$ ist beschränkt, da $$|a_n| \le 1 = K$$, aber nicht konvergent.

Comments

Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt.

Vorsicht! Eine Folge heißt genau dann beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Für die Konvergenz genügt aber die einseitige Beschränktheit zusammen mit der entsprechenden Monotonieeigenschaft.

Dein erster Satz müsste also lauten:

Jede konvergente Zahlenfolge ist mindestens einseitig beschränkt.

Answer 2

Hi,

nach dem Hauptsatz für monotone Folgen ist eine Folge genau dann konvergent, wenn sie monoton wachsend o. fallend und beschränkt ist.

Also wenn eine folge nicht beschränkt ist.. Wie könnte sie dann gegen irgendeinen Wert konvergieren?

Damit sie konvergiert muss es ja eine obere bzw. untere Schranke geben über die sie nicht hinaus kommt..

Grüße

Answer 3

Eine Folge heißt genau dann beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Für die Konvergenz genügt aber die einseitige Beschränktheit zusammen mit der entsprechenden Monotonieeigenschaft (wachsend oder fallend).

Daher ist (beidseitge) Beschränktheit nicht Voraussetzung für die Konvergenz einer Folge. Und daher es gibt jede Menge  Folgen, die nicht beidseitig beschränkt aber dennoch konvergent sind (weil sie eben einseitig beschränkt und entsprechend monoton sind)...

Unbeschränkte Folgen hingegen, also solche, die weder nach oben noch nach unten beschränkt ist, können nicht konvergent sein.